\ANG{
Gegeben ist die in IR definierte Funktion f mit $\mathrm{f(x)=\frac 1 {27} x^3- \frac 4 3 x}$. Ihr Graph $\mathrm{G_f}$
hat den Wendepunkt $\mathrm{(0|0)}$
\begin{enumerate}
\item Begründen Sie, dass $\mathrm{G_f}$ symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts ist. Bestimmen 
Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von $\mathrm{G_f}$ mit den Koordinatenachsen. 
\item $\mathrm{G_f}$  hat zwei Extrempunkte. Zeigen Sie, dass einer der beiden ein Tiefpunkt mit 
der x-Koordinate $\mathrm{\sqrt{12}}$ ist.
\item Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente t an $\mathrm{G_f}$ im Punkt $\mathrm{P\left(6|f(6)\right)}$.\\
\textit{(zur Kontrolle: $t:y = \frac 8 3 x -16$)}
\item $\mathrm{G_f}$ soll in drei Schritten verändert werden. Die drei Schritte sind:
\begin{itemize}
\item Spiegeln an der x-Achse
\item Verschieben um 6 in positive x-Richtung
\item Verschieben um 14 in positive y-Richtung
\end{itemize}
Geben Sie an, wie viele verschiedene Graphen entstehen, wenn die drei Schritte in allen möglichen Reihenfolgen ausgeführt werden. Begründen Sie Ihre 
Angabe. 
\end{enumerate}
\\(Quelle: Text und Aufgabe IQB. Aufgabenpool (Abitur) 2023, Teil B, grundlegendes Niveau, mit WTR)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Der Funktionsterm von f ist ganzrational und enthält Potenzen von x ausschließlich mit ungeradzahligen Exponenten. \\
Mit $\mathrm{f(x)=\frac 1 {27} x \cdot \left( x^2 - 36 \right)}$ ergeben sich die Schnittpunkte $\mathrm{(0|0), (-6|0)}$ und $\mathrm{(6|0)}$.
\item $\mathrm{f'(x) = \frac 1 9 x^2 - \frac 4 3, f''(x) = \frac 2 9 x}$ \\
Damit gilt $\mathrm{f'\left( \sqrt{12} \right) = \frac 1 9 \cdot 12 - \frac 4 3 = 0}$ und $\mathrm{f''\left(\sqrt{12}\right) > 0}$.
\item Wegen $\mathrm{f'(6) = \frac 8 3}$ hat die Gleichung die Form $\mathrm{y = \frac 8 3 x + c}$. Mit $\mathrm{f(6)=0}$ ergibt sich
$\mathrm{\frac 8 3 \cdot 6 + c = 0 \Leftrightarrow c = -16}$.
\item Das Ergebnis der Veränderungen ist unabhängig von der Position der Verschiebung in x-Richtung. 
Wesentlich ist nur die Reihenfolge der beiden anderen 
Schritte. Abhängig davon geht beispielsweise der Wendepunkt $\mathrm{(0|0)}$ durch die 
drei Schritte entweder in $\mathrm{(6|14)}$ oder in $\mathrm{(6|-14)}$ über. Folglich entstehen zwei 
verschiedene neue Graphen. 
\end{enumerate}
}