\ANG{
Gegeben ist eine in $\mathrm{\RR}$ definierte ganzrationale Funktion f dritten Grades, 
deren Graph $\mathrm{G_f}$ an der Stelle $\mathrm{x=1}$ einen Hochpunkt und an der Stelle $\mathrm{x=4}$
einen Tiefpunkt besitzt.
\begin{enumerate}
\item Begründen Sie, dass der Graph der Ableitungsfunktion $\mathrm{f'}$ von f eine 
Parabel ist, welche die x-Achse in den Punkten $\mathrm{(1|0)}$ und $\mathrm{(4|0)}$ schneidet und nach oben geöffnet ist. 
\item Begründen Sie, dass 2,5 die x-Koordinate des Wendepunkts von $\mathrm{G_f}$ ist.
\end{enumerate}
\\[1.5ex](Quelle: Text und Aufgabe ISB. Abitur 2016, Teil A, erhöhtes Niveau, ohne Hilfsmittel)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item f ist vom Grad 3, daher ist die Ableitungsfunktion f' vom Grad 2, also eine quadratische Funktion. Daher ist
der Graph der Ableitungsfunktion eine Parabel. Da f an der Stelle $\mathrm{x=1}$ einen Hochpunkt besitzt, muss 
f' dort eine Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus durchmachen. Bei $\mathrm{x=4}$ wechselt f' von Minus nach Plus.
Da f' im Intervall ]-1;+4[ negative Funktionswerte hat ist die Parabel nach oben geöffnet.
\item Der Wendepunkt befindet sich dort wo f' seinen Scheitelpunkt hat, denn dort hat f'' eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel.
Da die Parabel symmetrisch ist, befindet sich der Scheitelpunkt in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen:\\
$\mathrm{x_W = \frac {1+4} 2 = 2{,}5}$.
\end{enumerate}
}