\ANG{
Gegeben ist die in $\mathrm{\RR}$ definierte Funktion f mit $\mathrm{f(x) = -x^3+9 x^2 -15 x -25}$.\\
Weisen Sie nach, dass f folgende Eigenschaften besitzt:
\begin{itemize}
\item [(1)] Der Graph von f besitzt an der Stelle $\mathrm{x=0}$ die Steigung $\mathrm{-15}$.
\item [(2)] Der Graph von f besitzt im Punkt $\mathrm{A\left( 5|f(5)\right)}$ die x-Achse als Tangente.
\item [(3)] Die Tangente t an den Graphen der Funktion f im Punkt $\mathrm{B\left( -1|f(-1)\right)}$ kann durch die
Gleichung $\mathrm{y=-36x-36}$ beschrieben werden.
\end{itemize}

\\(Quelle: Text und Aufgabe ISB. Abitur 2018, Teil A, erhöhtes Anforderungsniveau, ohne Hilfsmittel)
}
\LSG{
$\mathrm{f(x) = -x^3+9x^2 -15x -25}$\\
$\mathrm{f'(x) = -3x^2 + 18x -15}$\\
\begin{itemize}
\item [(1)] $\mathrm{f'(0) = -15 \, \checkmark }$
\item [(2)] $\mathrm{f'(5) = -3 \cdot 5^2 + 18 \cdot 5 -15 = -75+90-15 = 0 \land f(5) = -125 + 9 \cdot 25 - 75 - 25 = 100 - 75 - 25 = 0 \, \checkmark}$
\item [(3)] $\mathrm{f'(-1) = -3 - 18 -15 = -36 \Rightarrow y = -36 x + t}$\\
$\mathrm{f(-1) = 1 + 9 + 15 - 25 = 0; \quad -36 \cdot (-1) - 36 = 0 \, \checkmark}$
\end{itemize}
}