\ANG{
Gegeben ist die Schar der Funktionen $\mathrm{f_a : x \mapsto -\frac 1 3 x^3 - a x + 1}$ mit $\mathrm{a \in \RR^+}$
und Definitionsmenge $\mathrm{\RR}$.
\begin{enumerate}
\item Weisen Sie nach, dass die Graphen aller Funktionen der Schar streng monoton fallend sind und der Wertebereich ganz $\mathrm{\RR}$ ist.
\item Aus den Ergebnissen von a) ergibt sich, dass jede Funktion der Schar genau eine Nullstelle besitzt. Bestimmen Sie
für diese Nullstelle in Abhängigkeit von a einen Näherungswert $\mathrm{x_1}$, indem Sie den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem
Startwert $\mathrm{x_0=0}$ durchführen.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\mathrm{f_a'(x) = \underbrace{-x^2}_{\le 0} \underbrace{- a}_{< 0} < 0}$. Der Wert der Ableitungsfunktion ist stets kleiner Null,
daher ist $\mathrm{f_a}$ auf dem gesamten Definitionsbereich streng monoton fallend. \\
$\mathrm{\lim\limits_{x \to -\infty}-\frac 1 3 x^3 - a x + 1 = + \infty, \qquad \lim\limits_{x \to +\infty} -\frac 1 3 x^3 - a x + 1= -\infty  }$, 
da der Term $\mathrm{-x^3}$ für das
Verhalten an den Grenzen verantwortlich ist. Da außerdem alle Funktionen der Schar ganzrational sind, sind sie alle stetig. Somit ergibt sich
als Wertebereich ganz $\RR$.
\item $\mathrm{x_{n+1} = x_n - \frac {f_a(x_n)}{f_a'(x_n)} = 0 - \frac 1 {-a} = \frac 1 a}$.
\end{enumerate}
}