\ANG{
{\bfseries Mittelwerte von Funktionen}\\[2mm]
\EPSR{8cm}{12rr0131}{5cm}{}{
\PSFM{f}{$f$} \PSFM{fq}{$\overline{f}$} \PSFM{x}{$x$} 
\PSFM{y}{$y$} \PSFM{a}{$a$} \PSFM{b}{$b$}  
}{
Der Mittelwert einer Funktion $f$ im Intervall $[a,b]$ ist definiert als
\[\overline{f}=\frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b}f(x)\,\RMd x\]
Berechne die Mittelwerte folgender Funktionen im Intervall $[a,b]$ und
veranschauliche das Ergebnis am Grafen der Funktion:
}\\[1mm]
\begin{tabular}[t]{ll}
  (a)\quad $\D f(x)=\frac{1}{x^{2}}$\quad $\D a=\frac 12$, $b=4$ &
  (b)\quad $\D f(x)=4-\frac{x^{4}}{4}$,\quad $\D a=-2$, $b=2$\rule[-4mm]{0mm}{12mm}\\
  (c)\quad $\D f(x)=\sin x$,\quad $\D a=0$, $b=2\pi$ &
  (d)\quad $\D f(x)=\sin x$,\quad $\D a=0$, $b=\pi$ \\
\multicolumn{2}{l}{ (e)\quad $\D f(x)=\cos x$,\quad $\D a=0$;\quad
f"ur welches $b$ ist $\D\overline{f}=\frac{1}{2}$?
}
\end{tabular}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D \overline{f}=\frac{1}{4-\frac 12}\int\limits_{\frac 12}^{4}
  \frac{\RMd x}{x^{2}}=\frac 27\left[-\frac 1x\right]_{\frac 12}^{4}=
  \frac 27\left[-\frac 14+2\right]=\frac 12$
\item $f(-x)=f(x)\quad\DANN$ $f$ ist symmetrisch zur $y$-Achse:
\[\overline{f}=\frac{1}{2-(-2)}\int\limits_{-2}^{2}
  \left(4-\frac{x^{2}}{4}\right)\,\RMd x\,\stackrel{\text{Symmetrie}}{=}\,
\frac{1}{4}\cdot 2\cdot\int\limits_{0}^{2}
  \left(4-\frac{x^{2}}{4}\right)\,\RMd x=
\frac 12\left[4x-\frac{x^{3}}{12}\right]_{0}^{2}=\frac{11}{3}
\]
\item $\D\overline{f}=\frac{1}{2\pi-0}\int\limits_{0}^{2\pi}
  \sin x\,\RMd x=\frac{1}{2\pi}\left[-\cos x\right]_{0}^{2\pi}=
  \frac{1}{2\pi}\left[-1+1\right]=0$
\item $\D\overline{f}=\frac{1}{\pi-0}\int\limits_{0}^{\pi}
  \sin x\,\RMd x=\frac{1}{\pi}\left[-\cos x\right]_{0}^{\pi}=
  \frac{1}{2\pi}\left[1+1\right]=\frac{1}{\pi}$
\item 
\EPSR{10cm}{12rr0132}{3.5cm}{}{
\PSFM{ph}{$\frac{\pi}{2}$} \PSFM{h}{$\frac 12$} \PSFM{1}{1} 
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$} \PSFM{b}{$b$} 
}{
$\D\overline{f}=\frac{1}{b-0}\int\limits_{0}^{b}
  \cos x\,\RMd x=\frac{1}{b}\left[\sin x\right]_{0}^{b}=
  \frac{\sin b}{b}=\frac{1}{2}$\\[2mm]
Die Gleichung $\frac{\sin b}{b}=\frac{1}{2}$ ist nur numerisch l"osbar,
z.B. mit dem Newtonverfahren oder einfach durch Ausprobieren mit dem TR: 
$b\approx 1{,}895$.
}
\end{enumerate}
}
