\ANG{
Berechne numerisch mit Untersummen ($S_{\text{u}}$), mit Obersummen 
($S_{\text{o}}$) und mit der Midpoint-Rule ($S_{\text{m}}$) 
($n$ Teilintervalle). 
Berechne den relativen Fehler der drei Ergebnisse und des Mittelwertes 
$\overline{S}$ von $S_{\text{u}}$ und $S_{\text{o}}$ (genaue Ergebnisse in
Klammern).\\[2mm] 
(a)\quad$\D\int\limits_{1}^{5}\frac{\RMd x}{x}$,\quad $n=4$\quad(1,609437912)\qquad
(b)\quad$\D\int\limits_{0}^{2}2^{-x^{2}}\,\RMd x$,\quad $n=4$\quad(1,04474066)\\[2mm]
(c)\quad$\D\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan x\,\RMd x$, $n=4$  (0,3465735903)\qquad
(d)\quad$\D\int\limits_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{x}\,\RMd x$, $n=5$ (1,851937052)
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D\Delta x=\frac{5-1}{4}=1$, $f$ monoton fallend im Integrationsintervall
\begin{align*}
S_{\text{u}} &= \left[f(2)+f(3)+f(4)+f(5)\right]\cdot 1= 
\frac 12+\frac 13+\frac 14+\frac 15=\frac{77}{60}=1{,}28\overline{3}\\
S_{\text{o}} &= \left[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)\right]\cdot 1= 
\frac 11+\frac 12+\frac 13+\frac 14=\frac{25}{12}=2{,}08\overline{3}\\  
\overline{S} &=
\frac{S_{\text{u}}+S_{\text{o}}}{2}=\frac{101}{60}=1{,}68\overline{3}\\
S_{\text{m}} &= \left[f(1{,}5)+f(2{,}5)+f(3{,}5)+f(4{,}5)\right]\cdot 1= 
\frac{1}{1{,}5}+\frac{1}{2{,}5}+\frac{1}{3{,}5}+
\frac{1}{4{,}5}\approx 1{,}574603
\end{align*}
$I$ bezeichnet den angegebenen genauen Wert;
\[\delta_{\text{u}}=\frac{S_{\text{u}}-I}{I}=-20{,}3\%,\quad
\delta_{\text{o}}=29{,}4\%,\quad \delta_{\overline{S}}=4{,}6\%,\quad
\delta_{\text{m}}=-2{,}2\%,\quad\]
%%%%
\item $\D\Delta x=\frac{2-0}{4}=\frac 12$, $f$ monoton fallend im
  Integrationsintervall
\begin{align*}
S_{\text{u}} &= \left[f(0{,}5)+f(1)+f(1{,}5)+f(2)\right]\cdot\frac 12 
= 0{,}8068102595\\
S_{\text{o}} &= \left[f(0)+f(0{,}5)+f(1)+f(1{,}5)\right]\cdot\frac 12 
=\frac{25}{12}=1{,}2755602\\  
\overline{S} &=
\frac{S_{\text{u}}+S_{\text{o}}}{2}=1.04118526\\
S_{\text{m}} &= \left[f(0{,}25)+f(0{,}75)+f(1{,}25)+f(1{,}75)\right]\cdot\frac 12 
= 1{,}046497675
\end{align*}
$I$ bezeichnet den angegebenen genauen Wert;
\[\delta_{\text{u}}=\frac{S_{\text{u}}-I}{I}=-22{,}8\%,\quad
\delta_{\text{o}}=22{,}1\%,\quad \delta_{\overline{S}}=-0{,}34\%,\quad
\delta_{\text{m}}=0{,}17\%,\quad\]
%%%%
\item $\D\Delta x=\frac{\pi}{16}$, $f$ monoton steigend im Integrationsintervall
\begin{align*}
S_{\text{u}} &= \left[f(0)+f\left(\frac{\pi}{16}\right)+
f\left(\frac{\pi}{8}\right)+f\left(\frac{3\pi}{16}\right)\right]\cdot\frac{\pi}{16}
= 0{,}2515835636\\
S_{\text{o}} &= \left[f\left(\frac{\pi}{16}\right)+
f\left(\frac{\pi}{8}\right)+f\left(\frac{3\pi}{16}\right)+
f\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]\cdot\frac{\pi}{16}
= 0{,}4479331044\\  
\overline{S} &=
\frac{S_{\text{u}}+S_{\text{o}}}{2}=0{,}349758334\\
S_{\text{m}} &= \left[f\left(\frac{\pi}{32}\right)+
f\left(\frac{3\pi}{32}\right)+f\left(\frac{5\pi}{32}\right)+
f\left(\frac{7\pi}{32}\right)\right]\cdot\frac{\pi}{16}= 0{,}3449916438
\end{align*}
$I$ bezeichnet den angegebenen genauen Wert;
\[\delta_{\text{u}}=\frac{S_{\text{u}}-I}{I}=-27{,}4\%,\quad
\delta_{\text{o}}=29{,}2\%,\quad \delta_{\overline{S}}=0{,}92\%,\quad
\delta_{\text{m}}=-0{,}46\%,\quad\]
%%%%
\item $\D\Delta x=\frac{\pi}{5}$, $f$ monoton fallend im Integrationsintervall
\begin{align*}
S_{\text{u}} &= \left[f\left(\frac{\pi}{5}\right)+
f\left(\frac{2\pi}{5}\right)+f\left(\frac{3\pi}{5}\right)+
f\left(\frac{4\pi}{5}\right)+f(\pi)\right]\cdot\frac{\pi}{5}= 
1.527278662\\
S_{\text{o}} &=\left[f(0)+f\left(\frac{\pi}{5}\right)+
f\left(\frac{2\pi}{5}\right)+f\left(\frac{3\pi}{5}\right)+
f\left(\frac{4\pi}{5}\right)\right]\cdot\frac{\pi}{5}= 2.155597193\\  
\overline{S} &=
\frac{S_{\text{u}}+S_{\text{o}}}{2}=1.841437928\\
S_{\text{m}} &= \left[f\left(\frac{\pi}{10}\right)+f\left(\frac{3\pi}{10}\right)+
f\left(\frac{\pi}{2}\right)+f\left(\frac{7\pi}{10}\right)+
f\left(\frac{9\pi}{10}\right)\right]\cdot\frac{\pi}{5}= 1.857196808
\end{align*}
$I$ bezeichnet den angegebenen genauen Wert;
\[\delta_{\text{u}}=\frac{S_{\text{u}}-I}{I}=-17{,}5\%,\quad
\delta_{\text{o}}=16{,}4\%,\quad \delta_{\overline{S}}=-0{,}57\%,\quad
\delta_{\text{m}}=0{,}28\%,\quad\]
\end{enumerate}
}
