\ANG{
Schreibe $\D f(x)=\frac 1x$ als Integralfunktion.
} 
\LSG{
$\D I_{a}(x)=-\int\limits_{a}^{x}\frac{\RMd t}{t^{2}}=
\left[\frac{1}{t}\right]_{a}^{x}=
\frac 1x-\frac 1a\QDQ f(x)=\lim_{a\to\pm\infty}I_{a}(x)$\\[2mm]
Um nicht "uber die Polstelle integrieren zu m"ussen:
\[f(x)=
\begin{cases}
\D -\int\limits_{-\infty}^{x}\frac{\RMd t}{t^{2}} & \text{f"ur $x<0$}\\
\D -\int\limits_{\infty}^{x}\frac{\RMd t}{t^{2}} & \text{f"ur $x>0$}
\end{cases}
\]
Mit der Polstelle $x_{0}=0$ im Integrationsintervall w"are das Integral
unendlich, z.B.: 
\[\int\limits_{-1}^{1}\frac{\RMd t}{t^{2}}=\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}
\left[\int\limits_{-1}^{-\varepsilon}\frac{\RMd t}{t^{2}}+
\int\limits_{\varepsilon}^{1}\frac{\RMd t}{t^{2}}\right]=
\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\left[-\frac{1}{-\varepsilon}+\frac{1}{-1}
-\frac{1}{1}+\frac{1}{\varepsilon}\right]=\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\left[
\frac{2}{\varepsilon}-2\right]=+\infty
\] 
}
