\ANG{
\begin{enumerate}
\item Beweise die Integralformel:\qquad
$\D \int\cos^{2} ax\,\RMd x=\frac x2+\frac{1}{2a}\sin ax\cos ax+C$
\item Berechne den Mittelwert der Funktion $\D f(x)=\cos^{2}\frac x2$ im
  Intervall $[0,\pi]$.
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Beweis durch Ableiten der rechten Seite (RS):
\begin{align*}
\text{RS}'&=\left(\frac x2+\frac{1}{2a}\sin ax\cos ax+C\right)'=
\frac 12+\frac{1}{2a}\left(a\cos^{2}ax-a\sin^{2}ax\right)=\\
&=\frac{1}{2}\big(\underbrace{1-\sin^{2}ax}_{\cos^{2}ax}+\cos^{2}ax\big)=
\cos^{2} ax
\end{align*}
\item Mit $\D a=\frac 12$ folgt aus der bewiesenen Integralformel: 
\begin{align*}
\overline{f} &= \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\cos^{2}\left(
\frac 12 x\right)\,\RMd x=
\frac{1}{\pi}\left[\frac x2+
  \frac{1}{2\cdot\frac 12}\sin\frac x2\cos\frac x2\right]_{0}^{\pi}=\\
 &= \frac{1}{\pi}\Big[\frac{\pi}{2}+
  \sin\frac{\pi}{2}\underbrace{\cos\frac{\pi}{2}}_{0}-0\Big]=\frac 12
\end{align*}
\end{enumerate}
}
