\ANG{
Wir betrachten die Funktion $f$ mit $f(x)=4-x^{2}$.
\begin{enumerate}
\item Zeichne den Grafen von $f$ im Intervall $[-2;2]$ und berechne den Inhalt
  $A_{0}$ des endlichen Fl"achenst"ucks, das $G_{f}$ mit der $x$-Achse einschlie"st.
\item Eine Parallele zur $x$-Achse durch den Punkt P$(0,a)$ mit $0<a<4$ teilt das eben
  betrachtete Fl"achenst"uck in zwei Teile, das obere davon hat den Inhalt
  $A_{1}$. Veranschauliche den Sachverhalt f"ur $a=2$ im schon vorhandenen
  Grafen und berechne dann $A_{1}$ in Abh"angigkeit von $a$ (also {\em nicht}
  f"ur den speziellen Wert $a=2$).  

  F"ur welches $a$ ist $A_{1}=\frac 12 A_{0}$?
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \EPSR{8cm}{12rr0301}{6cm}{}{
\PSFM{1}{1} \PSFM{0}{0} \PSFM{2}{2} \PSFM{4}{4} 
\PSFM{3}{3} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{x1}{$x_{1}$} \PSFM{mx1}{$-x_{1}$}
\PSFM{y}{$y$} \PSFM{A1}{$A_{1}$} \PSFM{m1}{$-1$} \PSFM{m2}{$-2$}
}{
\begin{align*}
A_{0} &= \int\limits_{-2}^{2}f(x)\,\RMd x=2\int\limits_{0}^{2}(4-x^{2})\,\RMd
x=\\
&=2\left[4x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\frac{32}{3}   
\end{align*}
}
\item 
NS von $f$:\quad $\D x_{1}=\sqrt{4-a}$,\quad $x_{2}=-x_{1}$
\begin{align*}
A_{1}&= 2\int\limits_{0}^{x_{1}}f(x)\,\RMd x-2ax_{1}=
2\left(4x_{1}-\frac{x_{1}^{3}}{3}\right)-2ax_{1}=2(4-a)x_{1}-\frac
23x_{1}^{3}=\\
&=2(4-a)^{\frac 32}-\frac 23(4-a)^{\frac 32}=\frac 43(4-a)^{\frac 32}
\end{align*} 
\[A_{1}=\frac{A_{0}}{2}\QDQ\frac 43(4-a)^{\frac 32}=\frac{16}{3}\QDQ
(4-a)^{\frac 32}=4\]
\[a=4-\sqrt[3]{16}\approx 1{,}48\]
\end{enumerate}
}
