\ANG{
Zeichne die Grafen der Funktionen $f$ und $g$ mit
\[f(x)=\sin x\quad\text{und}\quad g(x)=1-\sin x\]
im Intervall $[0,\frac{7\pi}{3}]$ in ein Koordinatensystem (Einheit 2\,cm). 
Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Funktionen im
angegebenen Intervall. Die beiden Grafen schlie"sen, jeweils zwischen einem
Schnittpunkt und dem darauf folgenden Schnittpunkt, zwei verschieden gro"se
Fl"achenst"ucke ein. Berechne ihre Inhalte $A_{1}$ und $A_{2}$.
} 
\LSG{
Schnittpunkte der beiden Grafen: 
\[f(x)=g(x)\QDQ\sin x=\frac 12\QDQ x_{1}=\frac{\pi}{6},\quad 
x_{2}=\frac{5\pi}{6},\quad x_{3}=\frac{13\pi}{6}\]
\EPSC{12rr0031}{9cm}{}{
\PSFM{pi}{$\pi$} \PSFM{pi6}{$\frac{\pi}{6}$} \PSFM{5pi6}{$\frac{5\pi}{6}$} 
\PSFM{13pi6}{$\frac{13\pi}{6}$} \PSFM{2pi}{$2\pi$} \PSFM{1}{1} 
\PSFM{2}{2} \PSFM{m1}{$-1$} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$}
\PSFM{A1}{$A_{1}$} \PSFM{A2}{$A_{2}$} \PSFM{f}{$f$} \PSFM{g}{$g$}
}
\begin{align*}
A_{1} &= \int\limits_{x_{1}}^{x_{2}}|f(x)-g(x)|\,\RMd x=
  \int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}(2\sin x-1)\,\RMd x=
  \biggl[-2\cos x-x\biggl]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}=\\
  &=-2\cos\frac{5\pi}{6}-\frac{5\pi}{6}+2\cos\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}=
  \sqrt{3}-\frac{5\pi}{6}+\sqrt{3}+\frac{\pi}{6}=\\
  &=2\sqrt{3}-\frac{2\pi}{3}\approx 1{,}37
\end{align*}
\begin{align*}
A_{2} &= \int\limits_{x_{2}}^{x_{3}}|f(x)-g(x)|\,\RMd x=
  \int\limits_{\frac{5\pi}{6}}^{\frac{13\pi}{6}}(1-2\sin x)\,\RMd x=
  \biggl[2\cos x+x\biggl]_{\frac{5\pi}{6}}^{\frac{13\pi}{6}}=\\
  &=2\cos\frac{13\pi}{6}+\frac{13\pi}{6}-2\cos\frac{5\pi}{6}-\frac{5\pi}{6}=
  \sqrt{3}+\frac{13\pi}{6}+\sqrt{3}-\frac{5\pi}{6}=\\
  &=2\sqrt{3}+\frac{4\pi}{3}\approx 7{,}65
\end{align*}
}
