\ANG{
Wir betrachten die drei Funktionen $f_{1}$, $f_{2}$ und $f_{3}$ mit den Gleichungen
\[f_{1}(x)=\frac{1}{x^{1+\varepsilon}},\quad
  f_{2}(x)=\frac{1}{x}\quad\text{und}\quad
  f_{3}(x)=\frac{1}{x^{1-\varepsilon}}
\]
mit $0<\varepsilon<1$.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Grafen von $f_{1}$, $f_{2}$ und $f_{3}$ im Intervall
  $[0{,}1;10]$ f"ur $\varepsilon=0{,}01$. Was f"allt auf?
\item Welche Ungleichungen verbinden $f_{1}(x)$, $f_{2}(x)$ und $f_{3}(x)$?
  Untersuche das Verhalten der drei Funktionen am Rand ihres
  Definitionsbereichs. 
\item Berechne die Stammfunktionen $F_{1}$, $F_{2}$ und $F_{3}$ der Funktionen
  $f_{1}$, $f_{2}$ und $f_{3}$ mit
\[F_{1}(1)=F_{2}(1)=F_{3}(1)=0.\]
Welche geometrische Bedeutung haben $F_{1}(x)$, $F_{2}(x)$ und $F_{3}(x)$?

Untersuche das Verhalten von $F_{1}$, $F_{2}$ und $F_{3}$ f"ur $x\to 0^{+}$
und $x\to +\infty$.
\item Zeichne die Grafen von $F_{1}$, $F_{2}$ und $F_{3}$ im Intervall 
$[1;10^{80}]$ mit einem
  logarithmischen Ma"sstab auf der $x$-Achse (statt $x$ wird $0{,}1\lg x$
  angetragen, d.h. bei 3\,cm z.B. ist $x=10^{30}$, bei 6\,cm $x=10^{60}$).

Warum ist der Graf von $F_{2}$ in dieser Darstellung eine Gerade?
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \EPSR{6.5cm}{12rr0342}{7cm}{}{
\PSFM{0}{0} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$}
\PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} \PSFM{4}{4} \PSFM{5}{} 
}{
\begin{tabular}[t]{l|l|l|l|l}
$x$ & 0,2 & 1 & 2 & 5 \\ \hline   
$f_{1}$ & 5,08 & 1,00 & 0,497 & 0,197 \\
$f_{2}$ & 5,00 & 1,00 & 0,500 & 0,200 \\
$f_{3}$ & 4,92 & 1,00 & 0,503 & 0,203  
\end{tabular}\\[2mm]
Die maximale gemeinsame Definitionsmenge aller drei Funktionen ist $\RR^{+}$.\\ 

Die Grafen der derei Funktionen sind kaum zu unterscheiden.
}
\item F"ur $0<x<1$ gilt $\D\frac 1x>1$ und daher wegen
 $1-\varepsilon>0$ 
\[\left(\frac 1x\right)^{1-\varepsilon}<1\QDQ
  f_{1}(x)<f_{2}(x)<f_{3}(x)<1\] 
F"ur $k\in\{1,2,3\}$ gilt
\[\lim_{x\to 0^{+}}f_{k}(x)=+\infty,\qquad
  \lim_{x\to +\infty}f_{k}(x)=0^{+} \]
\item $\left|F_{k}(x)\right|$ ist gleich der Fl"ache zwischen $\GG_{f_{k}}$ und der
  $x$-Achse im Intervall $[1,x]$.
\begin{align*}
F_{1}(x) &= \int\limits_{1}^{x} t^{-1+\varepsilon}\,\RMd t=
   \frac{1}{\varepsilon}-\frac{1}{\varepsilon x^{\varepsilon}}\\
F_{2}(x) &= \int\limits_{1}^{x}\frac{\RMd t}{t}=
   \ln x-\ln 1=\ln x\\
F_{3}(x) &= \int\limits_{1}^{x} t^{-1-\varepsilon}\,\RMd t=
   \frac{x^{\varepsilon}}{\varepsilon}-\frac{1}{\varepsilon}
\end{align*}

\begin{align*}
\lim_{x\to 0^{+}}F_{1}(x) &= -\infty ,& \lim_{x\to 0^{+}}F_{2}(x) &= -\infty
,&\lim_{x\to 0^{+}}F_{3}(x) &= -\frac{1}{\varepsilon}\\
\lim_{x\to\infty}F_{1}(x) &=  \frac{1}{\varepsilon},& \lim_{x\to\infty}F_{2}(x) &= +\infty
,&\lim_{x\to\infty}F_{3}(x) &= +\infty
\end{align*}


\item \EPSR{5cm}{12rr0341}{7cm}{}{
\PSFM{10}{$10^{10}$} \PSFM{20}{$10^{20}$} \PSFM{30}{$10^{30}$} \PSFM{0}{0} 
\PSFM{40}{$10^{40}$} \PSFM{50}{$10^{50}$} \PSFM{60}{$10^{60}$}
\PSFM{70}{$10^{70}$} \PSFM{80}{$10^{80}$} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$}
\PSFM{100}{100} \PSFM{200}{200} \PSFM{300}{300} \PSFM{400}{400} \PSFM{500}{500} 
\PSFM{F1}{$F_{3}$} \PSFM{F2}{$F_{2}$} \PSFM{F3}{$F_{1}$} \PSFM{0}{}
}{
\begin{align*}
F_{1}(x) &= 100-\frac{100}{\sqrt[100]{x}}\\
F_{2}(x) &= \ln x\\
F_{3}(x) &= 100\sqrt[100]{x}-100
\end{align*}
Die tats"achliche Strecke auf der $x$-Achse ist $X=0{,}1\lg x$:
\[F_{2}(x)=\ln x=\frac{\lg x}{\lg\e}=\frac{10}{\lg\e}\cdot X\]
}
\end{enumerate}
}
