\ANG{
{\bfseries Die harmonische Reihe}\\[2mm]
Die Summe
\[\sum_{k=1}^{\infty}\frac 1k=1+\frac 12+\frac 13+\frac 16+\,...\]
hei"st {\em harmonische} Reihe, die Teilsummen bezeichnen wir mit
\[H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac 1k=1+\frac 12+\frac 13+\,...\,+\frac 1n\]
\begin{enumerate}
\item Berechne $H_{n}$ f"ur alle $n$ mit $1\leqq n\leqq 20$.
\item Veranschauliche $H_{n}$ durch die Fl"ache unter einer Treppenfunktion
  und zeichne auch die 
  Grafen von $\D f(x)=\frac 1x$ und $\D g(x)=\frac{1}{x-1}$ ein. 
  Zeige durch den Vergleich mit einem geeignet gew"ahlten Integral, dass
  die harmonische Reihe konvergiert, d.h. dass
\[\lim_{n\to\infty}H_{n}=\infty\]
gilt.
\item Beweise mit Hilfe des schon erstellten Grafen:
\[\boxed{\ln(1+n)<H_{n}<1+\ln n}\]
Zeige, dass die Breite $b$ des Intervalls, in dem $H_{n}$ liegt, kleiner als
eins ist. Wie gro"s ist $b$ f"ur $n\gg 1$? Zeichne die Punkte $(n|H_{n})$ und
die Grafen von $r(x)=\ln(1+x)$ und $s(x)=1+\ln x$ f"ur $1\leqq x\leqq 20$ in
ein Koordinatensystem.
\item In welchem Intervall liegt $n$, wenn $H_{n}$ gegeben ist?
Berechne dieses Intervall konkret f"ur $H_{n}\approx 100$.
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \parbox[t]{4cm}{
\begin{tabular}[t]{r|l}
$n$ & $H_{n}$\\\hline
1 & 1{,}0\\
2 & 1{,}5\\
3 & 1{,}833333333\\
4 & 2{,}083333333\\
5 & 2{,}283333333\\
6 & 2{,}45\\
7 & 2{,}592857143\\
8 & 2{,}717857143\\
9 & 2{,}828968254\\
10 & 2{,}928968254\\
11 & 3{,}019877345\\
12 & 3{,}103210678\\
13 & 3{,}180133755\\
14 & 3{,}251562327\\
15 & 3{,}318228993\\
16 & 3{,}380728993\\
17 & 3{,}439552523\\
18 & 3{,}495108078\\
19 & 3{,}547739657\\
20 & 3{,}597739657
\end{tabular}}\hfill
\parbox[t]{9cm}{
(b)\EPSC{12rr0361}{8cm}{}{
\PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$} 
\PSFM{n}{$n$} \PSFM{n1}{$n+1$} \PSFM{f}{$\D\frac{1}{x}$} 
 \PSFM{g}{$\D\frac{1}{x-1}$} \PSFM{}{}
}
\[H_{n}>\int\limits_{1}^{n+1}\frac{\RMd x}{x}=\ln(1+n)\]
Wegen $\D\lim_{n\to\infty}\ln(1+n)=\infty$ gilt auch
$\D\lim_{n\to\infty}H_{n}=\infty$.
}
\item \[\int\limits_{1}^{n+1}\frac{\RMd x}{x}<H_{n}<
  1+\int\limits_{2}^{n+1}\frac{\RMd x}{x-1}\]
$\D\frac{1}{x-1}$ ist die um 1 nach rechts verschobene Funktion $\D\frac
1x$. Daraus folgt
\[\int\limits_{2}^{n+1}\frac{\RMd x}{x-1}=
  \int\limits_{1}^{n}\frac{\RMd x}{x}=\ln n\]
und somit
\[\ln(1+n)<H_{n}<1+\ln n\]
\[\ln(1+n)=\ln\left[n\left(1+\frac 1n\right)\right]=
\ln n+\ln\left(1+\frac 1n\right)\]
Daraus folgt f"ur die Intervallbreite:
\[b=1+\ln n-\ln(1+n)=1-\ln\left(1+\frac 1n\right)\]
Wegen $1<1+\frac 1n<2$ gilt $0<\ln\left(1+\frac 1n\right)<\ln 2$ und daher
\[1-\ln 2<b<1\]
Die lineare N"aherung $f(1+x)\approx f(1)+f'(1)\cdot x$ f"ur $|x|\ll 1$
liefert wegen $n\gg 1$, d.h. $\frac 1n\ll 1$:
\[\ln(1+x)\approx 0+1\cdot x=x\quad\text{oder}\quad
\ln\left(1+\frac 1n\right)\approx\frac 1n\] 
und damit
\[b\approx 1-\frac 1n\quad\text{f"ur}\quad n\gg 1\]
\EPSC{12rr0362}{14cm}{}{
\PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$} 
\PSFM{n}{$n$} \PSFM{n1}{$n+1$} \PSFM{f}{$\D\frac{1}{x}$} 
 \PSFM{g}{$\D\frac{1}{x-1}$} \PSFM{}{}
}
\item 
Aufl"osen nach $n$:
\[\e^{H_{n}-1}<n<\e^{H_{n}}-1\]
\[H_{n}\approx 100\QDQ \e^{99}<n<\e^{100}-1\QDQ 
  9{,}89\cdot 10^{42}<n<2{,}87\cdot 10^{43}\]
\end{enumerate}

}
