\ANG{
Wir betrachten die Funktion $f$ mit der Gleichung
\[f(x)=\frac{20\ln x}{x^2}\quad\text{mit}\quad\DD_{f}=\RR^{+}.\]
\begin{enumerate}
\item Berechne die Nullstellen von $f$ und untersuche das Verhalten von $f$ an
  den R"andern von $\DD_{f}$. 
\item Untersuche $f$ auf Monotonie und Extremwerte und Zeichne den Grafen von
  $f$ im $x$-Intervall $\left[0{,9};6\right]$.
\item Beweise, dass $F$ mit
\[F(x)=\frac{-20(1+\ln x)}{x}\]
eine Stammfuktion von $f$ ist und stelle $F$ als Integralfunktion von $f$ dar.
\item Berechne den Inhalt $A$ der endlichen Fl"ache, die von $\GG_{f}$, der
  $x$-Achse, der Nullstelle und der Geraden $x=\sqrt{\e}$ begrenzt wird.
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D f(x)=0\QDQ\ln x=0\QDQ x_{0}=1$,\qquad
$\D\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\left(\frac{-\infty}{0^{+}}\right)=-\infty$\\[2mm]
de l'Hospital:\qquad$\D\lim_{x\to\infty}f(x)=\left(\frac{\infty}{\infty}\right)=
20\cdot\lim_{x\to\infty}\frac{\frac 1x}{2x}=
20\cdot\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x^{2}}=0^{+}$
\item $\D f'(x)=20\cdot\frac{\frac 1x\cdot x^{2}-\ln x\cdot2x}{x^{4}}=
20\cdot\frac{x-\ln x\cdot2x}{x^{4}}=20\cdot\frac{1-2\ln x}{x^{3}}$\\[2mm]
$\D f'(x)=0\QDQ\ln x=\frac 12\QDQ x_{1}=\e^{\frac 12}=\sqrt{\e}\approx
1{,}65$\\[2mm]
\begin{align*}
  0<x<x_{1}&\QDQ f'(x)>0&&\QDQ &&f \text{streng steigend}\\
  x>x_{1}&\QDQ f'(x)<0&&\QDQ &&f \text{streng fallend}
\end{align*}
$\DANN\quad$ rel. Maximum bei $(x_{1}|y_{1})$ mit  
$\D y_{1}=f(x_{1})=\frac{10}{\e}\approx 3{,}68$\\[2mm]
\EPSR{6cm}{12rr0381}{7cm}{}{
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$} \PSFM{0}{0} \PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} 
\PSFM{3}{3} \PSFM{4}{4} \PSFM{5}{5} \PSFM{6}{6} \PSFM{-1}{$-1$}
\PSFM{-2}{$-2$} \PSFM{}{} \PSFM{}{} \PSFM{}{} \PSFM{}{}
}{
\begin{tabular}[t]{l|ll}
  $x$ &\multicolumn{2}{|c}{$f(x)$}\\\hline
0,9 & &$\approx -2{,}60$\rule[-2mm]{0mm}{7mm} \\
1 & &$=0$\rule[-2mm]{0mm}{7mm}\\
2 & $5\ln 2$&$\approx 3{,}47$\rule[-2mm]{0mm}{7mm}\\
3 & $\frac{20\ln 3}{9}$&$\approx 2{,}44$\rule[-2mm]{0mm}{7mm}\\
4 & $\frac{5\ln 4}{4}$&$\approx 1{,}73$\rule[-2mm]{0mm}{7mm}\\
5 & $\frac{4\ln 5}{5}$&$\approx 1{,}29$\rule[-2mm]{0mm}{7mm}\\
6 & $\frac{5\ln 6}{9}$&$\approx 0{,}995$\rule[-2mm]{0mm}{7mm}
\end{tabular}
}
\item $\D F'(x)=-20\cdot\frac{\frac 1x\cdot x-(1+\ln x)\cdot 1}{x^{2}}=
-20\cdot\frac{1-1-\ln x}{x^{2}}=\frac{20\ln x}{x^{2}}=f(x)$\quad q.e.d.\\[2mm]
NS von $F$ muss untere Grenze des Integrals sein: $F(x)=0\QDQ x=\e^{-1}$
\[F(x)=\int\limits_{\e^{-1}}^{x}\frac{20\ln t}{t^{2}}\,\RMd t\]
\item $\D A=\int\limits_{1}^{\sqrt{\e}}\frac{20\ln t}{t^{2}}\,\RMd t=
F(\sqrt{\e})-F(1)=\frac{-20(1+\frac 12)}{\sqrt{\e}}-\frac{-20(1+0)}{1}=
20-\frac{30}{\sqrt{\e}}\approx 1{,}80$
\end{enumerate}
}
