\ANG{
Gegeben sind die Funktionen $f$, $g$ und $h$ mit $f(x)=\frac{x^2}{8}$, 
$g(x)=\sqrt x$ und $h(x)=\frac 1x$ mit den Definitionsmengen $\RR_0^+$ ($f$ und $g$) bzw. $\RR^{+}$.
\begin{enumerate}
\item Berechne die Koordinaten aller Schnittpunkte der drei Funktionen und zeichne die Grafen
der Funktionen in ein Koordinatensystem ($0\leqq x\leqq 5$, Einheit 2\,cm).
\item Die Grafen aller drei Funktionen schlie"sen f"ur $x\geqq 1$ ein endliches Fl"achenst"uck ein. 
Berechne seinen Inhalt $A$.
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \EPSR{6cm}{12rr0631}{8cm}{}{
\PSFM{0}{0}
\PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} \PSFM{4}{4} \PSFM{5}{} 
\PSFM{-2}{$-2$} \PSFM{-1}{$-1$} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{\hspace{-2mm}$y$}
\PSFM{}{} \PSFM{}{} \PSFM{}{} \PSFM{}{}   
}{
$\D f(x)=g(x)\QDQ\frac{x^2}{8}=\sqrt{x}$\\[2mm]
$\D x^4=64 x\QDQ x(x^3-64)=0$
\[\EPUNKT{S_1}{0}{0},\quad\EPUNKT{S_2}{4}{2}\]
$\D f(x)=h(x)\QDQ\frac{x^2}{8}=\frac 1x$\\[2mm]
$\D x^3=8\QDQ\EPUNKT{S_3}{2}{\frac 12}$
}\\[2mm]
$\D g(x)=h(x)\QDQ\sqrt x=\frac 1x\QDQ x^3=1\QDQ \EPUNKT{S_4}{1}{1}$
\item \mbox{}
\vspace{-5mm}
\begin{align*}	
 A &= \intop_1^2\left(\sqrt x-\frac 1x\right)\,\RMd x+
\intop_2^4\left(\sqrt x-\frac{x^2}8\right)\,\RMd x=\\
 &=\left[\frac 23x^{\frac 32}-\ln x\right]_1^2+\left[\frac 23x^{\frac 32}-\frac{x^3}{24}\right]_2^4=\\
 &=\frac 23 2^{\frac 32}-\ln 2-\frac 23+\ln 1+\frac 23 4^{\frac 32}-
 \frac{4^3}{24}-\frac 23 2^{\frac 32}+\frac{2^3}{24}=\\
 &= -\ln 2-\frac 23+\frac{16}3-\frac 83+\frac 13=\frac 73-\ln 2\approx 1{,}64
\end{align*}

\end{enumerate}
}
