\ANG{
Die Grafen der beiden Funktionen $f$ und $g$ mit
\[f(x)=\frac 4x-1\quad\text{und}\quad g(x)=4x-x^2\]
schlie"sen f"ur $x>0$ ein Fl"achenst"uck mit endlichem Inhalt $A$ ein. 
Berechne die Nullstellen der beiden Funktionen und
zeichne ihre Grafen  im $x$-Intervall $]0;5]$. 
Weise nach, dass die der Zeichnung entnommenen Schnittpunkte tats"achlich 
die gemeinsamen Punkte der beiden Funktionsgrafen sind 
und berechne dann $A$.
} 
\LSG{
 \EPSR{6.5cm}{12rr0741}{6.5cm}{}{
\PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} \PSFM{4}{4}
\PSFM{-1}{$-1$} \PSFM{5}{} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$}
\PSFM{A}{$A$} \PSFM{f}{$f$} \PSFM{g}{$g$} \PSFM{6}{}   
}{
$f(x)=0\QDQ x_{f0}=4$\\[2mm]
$g(x)=0\QDQ x_{g1}=0,\quad x_{g2}=4$\\[2mm]
$x_1=1:\quad f(x_1)=3,\quad g(x_1)=3$\\[2mm]
$x_2=4:\quad f(x_2)=0,\quad g(x_2)=0$
\begin{align*}
A &= \intop_1^4\left(g(x)-f(x)\right)\,\RMd x=\\
 &=  \intop_1^4\left(4x-x^2-\frac 4x+1\right)\,\RMd x=\\
 &= \left[2x^2-\frac{x^3}3-4\ln x+x\right]_1^4
\end{align*}
}\\
\hspace*{9mm}$\D =32-\frac{64}3-4\ln 4+4-2+\frac 13-1=12-4\ln 4\approx 6{,}455$
}
