\ANG{
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Grafen der Funktionen $f$, $g$ und $h$ mit
\[f(x)=\frac 4x,\quad g(x)=\frac{4}{x^{1{,}1}}\quad\text{und}\quad
h(x)=\frac{4}{x^2}\]
im $x$-Intervall $[1;6]$ in ein Koordinatensystem (Einheit: 2\,cm). 
\item Mit $g_x$ bezeichnen wir das Lot auf die $x$-Achse 
bei $x$. $A_1(x)$ ist die Fl"ache, die von $\GG_f$, $\GG_g$ und $g_x$ eingeschlossen wird,
$A_2(x)$ wird  von $\GG_g$, $\GG_h$ und $g_x$ eingeschlossen. Stelle die Gleichungen 
von $A_1$ und $A_2$ auf.
\item Welche Ungleichung vermutet man zwischen $A_1(x)$ und $A_2(x)$, wenn man 
die Grafen der Funktionen betrachtet? Best"atige die Vermutung durch das Aufstellen einer 
Wertetabelle f"ur $A_1(x)$ und $A_2(x)$ mit $x\in\{5,10,10^2,10^3,10^4,10^5\}$.
\item Berechne die Grenzwerte von $A_1(x)$ und $A_2(x)$ mit $x\to\infty$. Wie vertragen 
sich diese Ergebnisse mit der Vermutung aus Teilaufgabe (c)? Erweitere die Wertetabelle
f"ur $A_1(x)$ und $A_2(x)$ und bestimme m"oglichst genau den \GF{kritischen Punkt}.
\end{enumerate}
} 
\LSG{\begin{enumerate}
\item\mbox{}
\vspace{-8mm}

\EPSC{12rr0791}{10cm}{}{
\PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} \PSFM{4}{4}
\PSFM{5}{$5$} \PSFM{6}{$6$} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$}
\PSFM{f}{$f$} \PSFM{g}{$g$} \PSFM{h}{$h$} \PSFM{}{}   
}
\item $\D A_1(x)=\intop_1^x f(t)-g(t)\,\RMd t=4\ln x+\frac{40}{x^{0{,}1}}-40$\\[2mm]
$\D A_2(x)=\intop_1^x g(t)-h(t)\,\RMd t=\frac{4}{x}-\frac{40}{x^{0{,}1}}+36$
\item Man vermutet $A_1(x)<A_2(x)$.
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
x & 5&10&10^2&10^3&10^4&10^5\\\hline
A_1(x)&0{,}49 &0{,}98 &3{,}66 &7{,}68 &12{,}77  &18{,}70 \\\hline
A_2(x)&2{,}75 &4{,}63 &10{,}80 &15{,}96 &20{,}08  &23{,}35 
\end{array}\]
\item $\D\lim_{x\to\infty}A_1(x)=+\infty$,\quad
$\D\lim_{x\to\infty}A_2(x)=36$
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
x &10^6 &10^7&1{,}5\cdot 10^6&1{,}5\cdot 10^6&1\,374\,268&1\,374\,269\\\hline
A_1(x)&25{,}31&32{,}45 &26{,}53 &26{,}10 &26{,}2668644&26{,}2668666  \\\hline
A_2(x)&25{,}95 &28{,}02 &26{,}35 &26{,}21 &26{,}2668657&26{,}2668664  
\end{array}\]
\[A_1(x)<A_2(x)\text{ f"ur }x<x_0\text{ und }A_1(x)>A_2(x)\text{ f"ur }x>x_0
\text{ mit }x_0\approx 1\,374\,269\]
\end{enumerate}
}
