\ANG{
Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^5-5x^4+1$.
\begin{enumerate}
\item Diskutieren Sie qualitativ, wie der Graph von $f(x)$ aussieht.
\item Bestimmen Sie Extrema und Wendepunkte der Funktion.
\item Skizzieren Sie den Graph der Funktion.
\item Bei Polynomen f"unften Grades k"onnen die Nullstellen nicht mehr
analytisch bestimmt werden. Ein Verfahren zur numerischen Nullstellenbestimmung
ist das Newton-Verfahren: \vskip2mm

An den Graphen der Funktion wird in einem Punkt $(x_i|y_i)$, in der N"ahe einer
Nullstelle, eine Tangente gelegt.
Deren Schnittpunkt mir der x-Achse liefert $x_{i+1}$. Zu diesem $x-$Wert wird
der zugeh"orige Funktionswert $y_{i+1}$ berechnet. Nun beginnt das Verfahren
erneut. Die Folge $x_1$, $x_2$, $x_3$... konvergiert gegen die Nullstelle,
wenn $|f''\cdot f/{f'}^2|<1$ ist. \vskip2mm

Machen Sie sich dieses Verfahren der Nullstellenbestimmung anhand einer
Skizze klar.
\item Zeichnen Sie den Graph der Funktion im Intervall $[0{,}1]$
(Ma"sstab f"ur $x$-Richtung: 1 $\hat{=} 10 cm$) und
bestimmen Sie in diesem Intervall graphisch die Nullstelle.
\item Leiten Sie eine Formel zur numerischen Iteration der Nullstelle her.
\item Wenden Sie die Formel auf obige Funktion an. Starten Sie bei $x_1=1$
und rechnen Sie bis i=6.
\end{enumerate}


}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item F"ur x gegen minus (plus) unendlich geht der Graph von $f(x)$ gegen
minus (plus) unendlich. Der Graph kann kein, zwei oder vier Extrema haben.
Der Graph kann einen, zwei oder drei Wendepunkte haben.
\item $f'(x)=5x^4-20x^3 = 5x^3(x-4)$, $f''(x)=20x^3-60x^2=20x^2(x-3)\Rightarrow$\\
Maximum bei $H(0|1)$, Minimum bei $T(4|-255)$, Wendepunkt bei $W(3|-161)$
\item
\item
\item
\item $t_{x_i}(x)=f'(x_i)(x-x_i)+f(x_i)=0\Rightarrow$
      $x_{i+1}=x_i-\frac{y_i}{f'(x_i)}$
\item $x_{i+1}=x_i-\frac{x_i^5-5x_i^4+1}{5x_i^4-20x_i^3}\Rightarrow$\\
$x_1=1$, $x_2=0{,}8$, $x_3=0{,}712070...$, $x_4=0{,}694818...$,\\
$x_5=0{,}694204$, $x_6=0{,}6942032$
\end{enumerate}
}
