\ANG{
Wir betrachten die Funktion $f$ mit
\[f(x)=\frac{\cos^{3}x}{\sin^{2}x}\]
\begin{enumerate}
\item Berechne $f(x)$ f"ur $x\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3},
\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{6}\right\}$ und zeichne den Grafen 
von $f$ im $x$-Intervall 
$\left[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right]$. Einheiten: 2\,cm auf der
$y$-Achse, $\pi\,\widehat{=}\,6\,\text{cm}$ auf der $x$-Achse.
\item Beweise:\qquad$\D\int f(x)\,\RMd x=-\sin x-\frac{1}{\sin x}+C$
\item Berechne die Fl"ache, die von $G_{f}$, der $x$-Achse und den beiden
  Geraden $x=\frac{\pi}{6}$ und $x=\frac{5\pi}{6}$ eingeschlossen wird.
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \EPSR{7cm}{12rr0261}{6cm}{}{
\PSFM{0}{0} \PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{m1}{$-1$} 
\PSFM{m2}{$-2$} \PSFM{p6}{$\frac{\pi}{6}$} 
\PSFM{p3}{$\frac{\pi}{3}$} \PSFM{p2}{$\frac{\pi}{2}$} 
\PSFM{5p6}{$\frac{5\pi}{6}$} \PSFM{2p3}{$\frac{2\pi}{3}$} 
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$}   
}{
\begin{tabular}[t]{c|c}
  $x$ & $f(x)$\rule[-3mm]{0mm}{9mm} \\\hline
$\D\frac{\pi}{6}$ & $\D\frac 32\sqrt{3}\approx 2{,}60$\rule[-4mm]{0mm}{10mm}\\
$\D\frac{\pi}{3}$ &  $\D\frac 16\approx 0{,}167$\rule[-4mm]{0mm}{10mm}\\
$\D\frac{\pi}{2}$ & 0\rule[-4mm]{0mm}{10mm}\\
$\D\frac{2\pi}{3}$ & $\D-\frac 16\approx -0{,}167$\rule[-4mm]{0mm}{10mm}\\
$\D\frac{5\pi}{6}$ & $\D-\frac 32\sqrt{3}\approx -2{,}60$\rule[-3mm]{0mm}{10mm}
\end{tabular}
}
\item 
$\D\frac{\RMd}{\RMd x}\left(-\sin x-\frac{1}{\sin x}+C\right)=
-\cos x-\frac{-\cos x}{\sin^{2} x}=
\frac{\cos x\overbrace{(1-\sin^{2}x)}^{\cos^{2}x}}{\sin^{2} x}=
\frac{\cos^{3}x}{\sin^{2} x}
$
\item Nullstelle von $f$ bei $x_{0}=\frac{\pi}{2}$ und $f(x)<0$ f"ur 
$x\in]\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6}]$:
\begin{align*}
A &= \int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}f(x)\,\RMd x- 
\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{6}}f(x)\,\RMd x =
\left[-\sin x-\frac{1}{\sin x}\right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}-
\left[-\sin x-\frac{1}{\sin x}\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{6}}=\\
 &=-1-1+\frac 12+2-(-\frac 12-2+1+1)=\frac 12+\frac 12=1  
\end{align*}

\end{enumerate}

}
