\ANG{
Von der Funktion $f$ ist bekannt:
\[f'(x)=\frac{x^{2}}{x^{3}+1}\quad\text{und}\quad f(0)=1\]
\begin{enumerate}
\item Diskutiere $f$ (Nullstellen, Grenzwerte, Extremwerte, Wendepunkte, Graf).
\item Zeige, dass sich der Graf von $f$ f"ur gro"se $x$ beliebig nahe an den Grafen von $g$ 
mit $g(x)=1+\ln x$ ann"ahert. Zeichne den Grafen von $g$ in das schon vorhandene 
Diagramm ein.
\item F"ur welche $x$ unterscheidet sich $g(x)$ um weniger als ein Hundertstel
von $f(x)$?
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item 
$\D f(x)=\int f'(x)\,\RMd x=\int\frac{\frac 13\cdot(x^3+1)'}{x^3+1}\,\RMd x=
\frac 13\ln(x^3+1)+C$\\[2mm]
$\D f(0)=C=1\QDQ C=1$
\[f(x)=\frac 13\ln(x^3+1)+1\]
\[f(x)=0\QDQ x_0=-\left(1-\e^{-3}\right)^{\frac 13}\approx -0{,}983121\]
Definitionsmenge: $x^3+1>0\QDQ\DD_f=]-1;+\infty[$
\[\lim_{x\to (-1)^+}f(x)=-\infty,\qquad
\lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty\]
\[f'(x)=0\QDQ x_1=0\]
In ganz $\DD_f$ gilt $f'(x)\geqq 0$, $f$ ist also in ganz $\DD_f$ monoton steigend.
Also Terrassenpunkt bei $\EPUNKT{T}{0}{1}$.
\[f''(x)=\frac{2x(x^3+1)-x^2\cdot 3x^2}{(x^{3}+1)^2}=
\frac{x(2-x^3)}{(x^{3}+1)^2}\]
$f''(x)=0$ f"ur $x_{21}=0$ und $x_{22}=\sqrt[3]{2}$.
\[\begin{array}{c|c|c|c}
 &-1<x<x_{21}&x_{21}<x<x_{22}&x_{22}<x\\\hline
x&-&+&+\\\hline
2-x^3&+&+&-\\\hline
f''(x)&-&+&-
\end{array}
\]
Also VZW von $f''$ bei $x_{21}$ und $x_{22}$, d.h. Wendepunkte bei
$\EPUNKT{T}{0}{1}$ und $\EPUNKT{W}{\sqrt[3]{2}}{\frac 13\ln 3+1}$.
\item\mbox{}
\vspace{-10mm}

\begin{align*}
f(x)-g(x)&=\frac 13\ln\left(x^3+1\right)-\ln x=
\frac 13\ln\left(x^3+1\right)-\frac 13\ln x^3=\\
&=\frac 13\ln\frac{x^3+1}{x^3}=\frac 13\ln\left(1+\frac 1{x^3}\right)
\end{align*}
\[\lim_{x\to\infty}|f(x)-g(x)|=\frac 13\cdot\lim_{x\to\infty}\ln\left(1+\frac 1{x^3}\right)=
\frac 13\cdot\ln 1=0\]
\EPSC{12rr0581}{12cm}{}{
\PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} \PSFM{4}{4} \PSFM{5}{5} \PSFM{6}{6} 
\PSFM{-1}{$-1$} \PSFM{W}{W} \PSFM{T}{T} 
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$} \PSFM{f}{$f$} \PSFM{g}{$g$}   
}
\item\mbox{}
\vspace{-10mm}

\[|f(x)-g(x)|=\frac 13\ln\left(1+\frac 1{x^3}\right)<\frac 1{100}\]
\[\frac 1{x^3}<\e^{0{,}03}-1\]
\[x>\frac{1}{\sqrt[3]{\e^{0{,}03}-1}}\approx 3{,}2\]
\end{enumerate}
}
