\ANG{
Die beiden Funktionen $f$ und $g$ mit
\[f(x)=\frac{1}{x^2}-\frac 2x\quad\text{und}\quad 
g(x)=\intop_{\frac 12}^x f(t)\,\RMd t,\quad\DD_f=\DD_g=\RR^+\]
schlie"sen ein endliches Fl"achenst"uck mit dem Inhalt $A$ ein. Diskutiere die beiden Funktionen, 
zeichne ihre Grafen und berechne $A$.
} 
\LSG{
Diskussion von $f$:\\[2mm]
Nullstelle: $\D x_{f0}=\frac 12$,\quad
$\D\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac 1x\cdot\left(\frac 1x-2\right)=(0^+\cdot(-1))=0^-$
\[\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}\frac 1x\cdot\left(\frac 1x-2\right)=
\left((+\infty)\cdot (+\infty)\right)=+\infty\]
\[f'(x)=-\frac{2}{x^3}+\frac{2}{x^2}=\frac{2x-2}{x^3},\quad
f'(x)=0\QDQ x_{f1}=1\]
\[f''(x)=\frac{6}{x^4}-\frac{4}{x^3}=\frac{6-4x}{x^4},\quad
f''(x)=0\QDQ x_{f2}=\frac 32\]
$\D f''(x_{f1})=2>0\QDQ$Tiefpunkt bei $(1\,|\,-1)$.\\[2mm]
\[f'''(x)=-\frac{24}{x^5}+\frac{12}{4^3}=\frac{12x-24}{x^5}\]
\[f'''(x_{f2})=-\frac{64}{81}\neq 0\QDQ \text{WP bei }\left(\frac 32\,\vline\, -\frac 89\right)\]
\[g(x)=\intop_{\frac 12}^x\left(\frac{1}{t^2}-\frac 2t\right)\,\RMd t=
\left[-\frac 1t-2\ln t\right]_{\frac 12}^x=
-\frac 1x-2\ln x+2+2\ln\frac 12\]
\[g(x)=2(1-\ln 2)-\frac 1x-2\ln x\]
Diskussion von $g$:\\[2mm]
Untere Grenze der Integralfunktion ist Nullstelle: $\D x_{g0}=\frac 12$,\quad
$\D\lim_{x\to\infty}g(x)=+\infty$
\[\lim_{x\to 0^+}x\ln x=\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{\frac 1x}=
\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac 1x}{-\frac 1{x^2}}=-\lim_{x\to 0^+}x=0^-
\]
\[\lim_{x\to 0^+}g(x)=
\lim_{x\to 0^+}\left[2(1-\ln 2)-\frac 1x\left(1+2\underbrace{x\ln x}_{\to 0}\right)\right]=
\left(2(1-\ln 2)-\frac 1{0^+}\right)=-\infty\]
\EPSR{7cm}{12rr0671}{6cm}{}{
\PSFM{1}{\!\!\!1} \PSFM{2}{\!\!\!2} \PSFM{3}{} \PSFM{0}{0}
\PSFM{-2}{$\!\!\!\!\!-2$} \PSFM{-1}{$\!\!\!\!\!-1$} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$\!\!\!\!\!y$}
\PSFM{}{} \PSFM{}{} \PSFM{}{} \PSFM{}{}   
}{
$\D g'(x)=f(x)\QDQ x_{1g}=x_{f0}=\frac 12$\\[2mm]
$\D g''(x_{1g})=f'(x_{1g})=-8<0\QDQ$\\[2mm]
HP bei $\left(\frac 12\,\vline\, 0\right)$\\[2mm]
$\D g''(x)=0\QDQ x_{g2}=x_{f1}=1$\\[2mm]
$\D g'''(x_{g2})=f''(1)=2\neq 0\QDQ$\\[2mm]
WP bei $\left(1\,\vline\, 1-2\ln 2\right)\approx\left(1\,\vline\, -0{,}39\right)$\\[2mm]
$\D f(x)=g(x)\QDQ$
\[\frac{1}{x^2}-\frac 2x=2(1-\ln 2)-\frac 1x-2\ln x\]
}\\
Der erste Schnittpunkt ist die Nullstelle beider Funktionen: $\D x_1=\frac 12$.\\[2mm]
Zweite Nullstelle mit dem Newton-Verfahren:
\[h(x)=g(x)-f(x)=2(1-\ln 2)+\frac 1x-\frac 1{x^2}-2\ln x=0\]
\[x_{n+1}=x_n-\frac{h(x_n)}{h'(x_n)}=
x_n-\frac{2(1-\ln 2)+\frac 1x-\frac 1{x^2}-2\ln x}
{-\frac 1{x^2}+\frac 2{x^3}-\frac 2x}\]
\[x_{n+1}=\frac{x_n\left[3-2x_n+2x_n^2(-2+\ln 2x_n)\right]}{2-x_n-2x_n^2}\]
\begin{align*}
X_1 &= 1{,}5\\
X_2 &= 1{,}521091763\\
X_3 &= 1{,}521148687\\
X_4 &= 1{,}521148688 = x_2
\end{align*}
\begin{align*}
A &= \intop_{x_1}^{x_2}(g(x)-f(x))\RMd x=
 \intop_{x_1}^{x_2}\left(2(1-\ln 2)+\frac 1x-\frac 1{x^2}-2\ln x\right)\RMd x=\\
 &= \left[2(1-\ln 2)x+\ln x+\frac 1x-2x(\ln x -1)\right]_{\frac 12}^{x_2}=\\
 &= 2(1-\ln 2)x_2+\ln x_2+\frac 1x_2-2x_2(\ln x_2 -1)-4+\ln 2=0{,}4697
\end{align*}
}
