\ANG{
Wir betrachten die Funktion $f$ mit
\[f(x)=\frac 1x+\ln x,\quad\DD=\RR^+\]
\begin{enumerate}
\item Berechne $\D\lim_{x\to\infty}f(x)$. 
$\D\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty$ darf f"ur das Weitere vorausgesetzt werden.
\item Untersuche $f$ auf Extremwerte und Wendepunkte und zeichne den Grafen von $f$
im $x$-Intervall $]0;5]$ (Einheit 2\,cm).
\item Eine weitere Funktion ist $g$ mit
\[g(x)=\intop_1^x f(t)\,\RMd t\]
Schreibe $g(x)$ in einer integralfreien Darstellung. Welche Nullstelle hat $g$?
\item $A_1$ ist der Inhalt der Fl"ache, die von $G_f$, der $x$-Achse und den Geraden
$x=\frac 12$ und $x=1$ eingeschlossen wird, $A_2$ dagegen wird  
von $G_f$, der $x$-Achse und den Geraden $x=1$ und $x=2$ eingeschlossen.
Berechne $A_1$ und $A_2$ mit Hilfe der Funktion $g$ und berechne exakt das Verh"altnis
der beiden Fl"acheninhalte. 
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D\lim_{x\to\infty}f(x)=(0+\infty)=+\infty$
%\begin{align*}
%\lim_{x\to 0^+}f(x) &= \lim_{x\to 0^+}\left(\frac 1x+\ln x\right)=
%\lim_{x\to 0^+}\frac 1x\left(1+x\ln x\right)=
%\lim_{x\to 0^+}\frac 1x\left(1+\frac{\ln x}{\frac 1x}\right)=\\
%&\stackrel{\text{de l'Hospital}}{=}
%\lim_{x\to 0^+}\frac 1x\left(1+\frac{\frac 1x}{-\frac 1{x^2}}\right)=
%\lim_{x\to 0^+}\frac 1x\left(1-x\right)=(\infty\cdot 1)=+\infty
%\end{align*}
\item
\EPSR{6.5cm}{12rr0751}{7cm}{}{
\PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{3}{} \PSFM{4}{}
\PSFM{-1}{$-1$} \PSFM{5}{} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$}
\PSFM{A1}{$A_1$} \PSFM{f}{$f$} \PSFM{A2}{$A_2$} \PSFM{6}{}   
}{
$\D f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac 1x=\frac{x-1}{x^2}$\\[2mm]
$f'(x)=0\QDQ x_{1}=1$\\[2mm]
$\D f''(x)=\frac{2}{x^3}-\frac 1{x^2}=\frac{2-x}{x^3}$\\[2mm]
$\D f''(x)=0\QDQ x_{2}=2$\\[2mm]
$\D f''(1)=1>0\QDQ$TP bei $(1|1)$\\[2mm]
$\D f'''(x)=-\frac{6}{x^4}+\frac 2{x^3}=\frac{2x-6}{x^4}$\\[2mm]
$\D f'''(2)=-\frac 18\neq 0\QDQ$\\[2mm]
WP bei $\left(2\,\vline\,\frac 12+\ln 2\right)\approx (2|1{,}19)$
}
\item
$\D g(x)= \intop_1^x\left(\frac 1t+\ln t\right)\,\RMd t=
\left[\ln t+t(\ln t-1)\right]_1^x=\ln x+x(\ln x-1)-\ln 1-1\cdot(\ln 1-1)$
\[g(x)=1-x+(1+x)\ln x\quad\text{mit}\quad g(1)=0\]
\item 
$\D A_1=\left|g\left(\frac 12\right)\right|=\left|\frac 12+\frac 32\ln\frac 12\right|=
\left|\frac 12-\frac 32\ln 2\right|=\frac{\ln 8-1}2\approx 0{,}53972$\\[2mm]
$\D A_2=g(2)=-1+3\ln 2=\ln 8-1=2A_1\QDQ\frac{A_2}{A_1}=2$
\end{enumerate}
}
