\ANG{
Wir betrachten die Funktion $f$ mit
\[f(x)=x\e^{-x},\quad\DD=\RR\]
\begin{enumerate}
\item Berechne die Nullstelle von $f$ und untersuche das Verhalten von $f$ an den R"andern
von $\DD$.
\item Untersuche $f$ auf Extremwerte und Wendepunkte und zeichne den Grafen von $f$
im $x$-Intervall $]-1;5]$ (Einheit 2\,cm).\\[2mm]
[Nur zur Kontrolle: $\D f'(x)=(1-x)\e^{-x}$, $\D f''(x)=(x-2)\e^{-x}$]
\item Eine weitere Funktion ist $g$ mit
\[g(x)=\intop_0^x f(t)\,\RMd t\]
Beweise:
\[ g(x)=1-(x+1)\e^{-x}\]
Welche Nullstelle hat $g$?
\item Verwende bereits vorhandene Ergebnisse, um die Extremwerte und Wendepunkte 
von $g$ zu bestimmen. Zeichne den Grafen von $g$
im $x$-Intervall $]-1;5]$ (Einheit 2\,cm).
\item Berechne $\D\lim_{x\to +\infty}g(x)$. Interpretiere das Ergebnis geometrisch, 
einmal bez"uglich des Grafen von $f$ und einmal bez"uglich des Grafen von $g$.
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $x_{f0}=0$,\quad
$\D\lim_{x\to-\infty}f(x)=(-\infty\cdot\infty)=-\infty$
\[\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\e^x}=\left(\frac{\infty}{\infty}\right)=
\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{\e^x}=0^+\]
\item
\EPSR{6.5cm}{12rr0811}{7cm}{}{
\PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{3}{} \PSFM{4}{}
\PSFM{-1}{$-1$} \PSFM{5}{} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$}
\PSFM{A1}{$A_1$} \PSFM{f}{$f$} \PSFM{A2}{$A_2$} \PSFM{6}{}   
}{
$\D f'(x)=\e^{-x}-x\e^{-x}=(1-x)\e^{-x}$\\[2mm]
$f'(x)=0\QDQ x_{f1}=1$\\[2mm]
$\D f''(x)=-2\e^{-x}+x\e^{-x}=(x-2)\e^{-x}$\\[2mm]
$\D f''(x)=0\QDQ x_{f2}=2$\\[2mm]
$\D f''(1)=-\frac 1{\e}<0\QDQ$HP bei $\left(1\,\vline\,\frac 1{\e}\right)$\\[2mm]
$\D f'''(x)=3\e^{-x}-x\e^{-x}=(3-x)\e^{-x}$\\[2mm]
$\D f'''(2)=\frac 1{\e}\neq 0\QDQ$\\[2mm]
WP bei $\left(2\,\vline\,\frac 2{\e^2}\right)\approx (2|0{,}27)$
}
\item Zu zeigen ist $g'(x)=f(x)$ und $g(0)=0$ (Untergrenze).
\[ g'(x)=-\e^{-x}-(x+1)(-\e^{-x})=-\e^{-x}+x\e^{-x}+\e^{-x}=x\e^{-x}=f(x)\]
\[g(0)=1-(0+1)\e^0=1-1=0\]
\item \EPSR{6.5cm}{12rr0812}{7cm}{}{
\PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{3}{} \PSFM{4}{}
\PSFM{-1}{$-1$} \PSFM{5}{} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$}
\PSFM{A1}{$A_1$} \PSFM{f}{$f$} \PSFM{A2}{$A_2$} \PSFM{6}{}   
}{
$g'(x)=f(x)\QDQ x_{g1}=x_{f0}=0$\\[2mm]
$g''(x)=f'(x)\QDQ x_{g2}=x_{f1}=1$\\[2mm]
$g''(0)=f'(0)=1>0\QDQ$\\[2mm]
TP bei $(0|0)$\\[2mm]
$g'''(1)=f''(1)=-\frac 1{\e}\neq 0\QDQ$\\[2mm]
WP bei $\left(1\,\vline\,\frac 1{\e}\right)$
}
\item $\D\lim_{x\to +\infty}g(x)=1-\lim_{x\to +\infty}\frac{x+1}{\e^x}=1-0=1$\\[2mm]
Die Fl"ache zwischen $G_f$ und der $x$-Achse im Intervall $[0,+\infty[$ ist 1.\\
$G_g$ hat die waagrechte Asymptote $y=1$.
\end{enumerate}
}
