\ANG{
Untersuche die Funktion $f$ mit
\[f(x)=\frac{x^{4}}{8}-\frac{x^{3}}{2},\quad\DD_{f}=\RR\]
Nullstellen, Verhalten an den R"andern von $\DD_{f}$, Monotonie,
Extremwerte und Wendepunkte. Zeichne den Grafen von $f$ im Intervall
$[-2;4{,}5]$. 

F"ur welche $x$-Werte gilt $f(x)=-2$?
} 
\LSG{
$\D f(x)=\frac{x^3}8\cdot\left(x-4\right)=0\QDQ x_{01}=0,\quad x_{02}=4$\\[2mm]
$\D\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}\left[\frac{x^3}8\cdot\left(x-4\right)\right]=
((-\infty)\cdot(-\infty))=+\infty$\\[2mm]
$\D\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\left[\frac{x^3}8\cdot\left(x-4\right)\right]=
((+\infty)\cdot(+\infty))=+\infty$\\[2mm]
$\D f'(x)=\frac{x^{3}}{2}-\frac{3x^{2}}{2}=\frac{x^2}2\cdot\left(x-3\right)$,\quad
$\D f''(x)=\frac{3x^{2}}{2}-3x=\frac{3x}2\cdot\left(x-2\right)$\\[2mm]
$f'(x)=0\QDQ x_{11}=0,\quad x_{12}=3$,\qquad
$f''(x)=0\QDQ x_{21}=0,\quad x_{22}=2$\\[2mm]
$f'(x)>0$ f"ur $x>3$ und $f'(x)\leqq 0$ f"ur $x\leqq 3\QDQ$\\[2mm]
$f$ streng fallend in $]-\infty;3[$ und $f$ streng steigend in $]3;+\infty[$.\\[2mm]
$f'(x_{12})=0$ und $\D f''(x_{12})=\frac 92>0\QDQ$ Tiefpunkt bei 
$\EPUNKT{T}{3}{\frac{27}8}$\\[2mm]
$f'''(x)=3x-3=3(x-1)$\\[2mm]
$f'(x_{11})=0$ und $\D f''(x_{11})=0$ und $f''(x_{11})=-3\neq 0\QDQ$ Terrassenpunkt 
bei $\EPUNKT{F}{0}{0}$\\[2mm]
$\D f''(x_{22})=0$ und $f'''(x_{22})=3\neq 0\QDQ$ Wendepunkt 
bei $\EPUNKT{W}{2}{-2}$\\[2mm]
$\D f(x)=-2\QDQ g(x)=x^4-4x^3+16=0$, eine L"osung ist $X_1=2$, die zweite L"osung 
findet man mit dem Newtonverfahren:\\[2mm]
\parbox[t]{8cm}{
$\D x_{n+1}=x_n-\frac{g(x_n)}{g'(x_n)}=x_n-\frac{x_n^4-4x_n^3+16}{4x_n^3-12x_n^2}$
\[X_2\approx 3{,}678573510\]
}\qquad\quad\parbox[t]{5cm}{\mbox{}
\vspace{-15mm}

\begin{align*}
x_0 &= 3{,}5\\
x_1 &= 3{,}721938776\\
x_2 &= 3{,}680359091\\
x_3 &= 3{,}678576718\\
x_4 &= 3{,}678573510\\
x_5 &= 3{,}678573510
\end{align*}
}
\EPSC{11rr2531}{8cm}{}{
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$} \PSFM{1}{1}\PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} 
\PSFM{4}{4} \PSFM{5}{5} \PSFM{6}{6}\PSFM{-1}{$-1$} \PSFM{-2}{$-2$}
\PSFM{-3}{$-3$} \PSFM{-4}{$-4$} \PSFM{}{}\PSFM{F}{F} \PSFM{T}{T} 
\PSFM{W}{W}
}
}
