\ANG{
Untersuche die Funktion $f$ mit
\[f(x)=\frac{x^{4}}{4}-2x^{2},\quad\DD_{f}=\RR\]
auf Symmetrie,  Nullstellen, Verhalten an den R"andern von $\DD_{f}$, 
Extremwerte und Wendepunkte. Zeichne den Grafen von $f$ im Intervall
$[-3;3]$. 

F"ur welche $x$-Werte gilt $f(x)=-2$?
} 
\LSG{$f(-x)=f(x)\QDQ$$f$ symmetrisch zur $y$-Achse\\[2mm]
$\D f(x)=\frac{x^2}4\cdot\left(x^2-8\right)=0\QDQ x_{01}=0,\quad x_{02}=-2\sqrt{2},\quad x_{03}=2\sqrt{2}$\\[2mm]
$\D\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=\lim_{x\to \pm\infty}\left[\frac{x^2}4\cdot\left(x^2-8\right)\right]=
((+\infty)\cdot(+\infty))=+\infty$\\[2mm]
$\D f'(x)=x^{3}-4x=x\cdot\left(x^2-4\right)$,\quad
$\D f''(x)=3x^2-4$,\quad $f'''(x)=6x$\\[2mm]
$f'(x)=0\QDQ x_{11}=0,\quad x_{12}=-2,\quad x_{13}=2$\\[2mm]
$f''(x)=0\QDQ x_{21}=0,\quad x_{22}=-\frac 23\sqrt{3},\quad x_{23}=\frac 23\sqrt{3}$\\[2mm]
$f'(x_{11})=0$ und $\D f''(x_{11})=-4<0\QDQ$ Hochpunkt bei 
$\EPUNKT{H}{0}{0}$\\[2mm]
$f'(x_{13})=0$ und $\D f''(x_{13})=8>0\QDQ$ Tiefpunkte 
bei $\EPUNKT{T_{1,2}}{\pm 2}{-4}$\\[2mm]
$\D f''(x_{22})=0$ und $f'''(x_{22})=4\sqrt{3}\neq 0\QDQ$ Wendepunkte 
bei $\EPUNKT{W_{1,2}}{\pm\frac 23\sqrt{3}}{-\frac{20}3}$\\[2mm]
$\D f(x)=-2\QDQ x^4-8x^2=-2$ hat die vier L"osungen 
$\D x=\pm\sqrt{4\pm 2\sqrt{2}}$.

\EPSC{11rr2541}{8cm}{}{
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$} \PSFM{1}{1}\PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} 
\PSFM{4}{4} \PSFM{5}{5} \PSFM{6}{6}\PSFM{-1}{$-1$} \PSFM{-2}{$-2$}
\PSFM{-3}{$-3$} \PSFM{-4}{$-4$} \PSFM{}{}\PSFM{F}{F} \PSFM{T}{T} 
\PSFM{W}{W}
}
}
