\ANG{
Untersuche die Funktion $f$ mit
\[f(x)=\frac{1}{4}x^{3}-\frac 74 x^{2}+2x+1,\quad\DD_{f}=\RR\]
auf Nullstellen, Verhalten an den R"andern von $\DD_{f}$, Monotonie,
Extremwerte und Wendepunkte. Zeichne den Grafen von $f$ im Intervall
$[-1;6]$. 
} 
\LSG{
$\D f(x)=0\QDQ x_{01}=2$ (durch Probieren)\\[2mm]
$\D f(x):(x-2)=\frac 14 x^2-\frac 54 x-\frac 12\QDQ x_{02,3}=\frac 52\pm\frac 12\sqrt{33}$\\[2mm]
$\D\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=\lim_{x\to \pm\infty}\biggl[\frac{x^3}4\cdot
\biggl(\underbrace{1-\frac 7x+\frac 8{x^2}+\frac 4{x^3}}_{\to 1}\biggr)\biggr]=\pm\infty$\\[2mm]
$\D f'(x)=\frac{3}{4}x^2-\frac{7}{2}x+2$,\quad
$\D f''(x)=\frac{3}{2}x-\frac 72$,\quad$\D f'''(x)=\frac 32$\\[2mm]
$\D f'(x)=0\QDQ x_{11}=\frac 23,\quad x_{12}=4$,\qquad
$\D f''(x)=0\QDQ x_{21}=\frac 73$\\[2mm]
Da der Graf von $f'$ eine nach oben ge"offnete Parabel ist, folgt
$f'(x)>0$ f"ur $\D x<\frac 23$ und $x>4$, $f'(x)< 0$ f"ur $\D\frac 23<x<4\QDQ$\\[2mm]
$f$ streng steigend in $\D \biggl]-\infty;\frac 23\biggl[$ und $]4;+\infty[$, 
$f$ streng fallend in $\D\biggl]\frac 23;4\biggl[$.\\[2mm]
$f'(x_{11})=0$ und $\D f''(x_{11})=-\frac 52<0\QDQ$ Hochpunkt bei 
$\D\EPUNKT{H}{\frac 23}{\frac{44}{27}}$\\[2mm]
$f'(x_{12})=0$ und $\D f''(x_{12})=\frac 52>0\QDQ$ Tiefpunkt bei 
$\D\EPUNKT{T}{4}{-3}$\\[2mm]
$f''(x_{21})=0$ und $\D f'''(x_{21})=\frac 32\neq 0\QDQ$ Wendepunkt 
bei $\D\EPUNKT{W}{\frac 73}{-\frac{37}{54}}$\\[2mm]
\EPSC{11rr2551}{8cm}{}{
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$} \PSFM{1}{1}\PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} 
\PSFM{4}{4} \PSFM{5}{5} \PSFM{6}{6}\PSFM{-1}{$-1$} \PSFM{-2}{$-2$}
\PSFM{-3}{$-3$} \PSFM{-4}{$-4$} \PSFM{H}{H}\PSFM{F}{F} \PSFM{T}{T} 
\PSFM{W}{W}
}
}
