\ANG{
Untersuche die Funktion $f$ mit
\[f(x)=\frac{x^{2}}{\e^{x-1}},\quad\DD_{f}=\RR\]
auf Symmetrie, Nullstellen, Verhalten an den R"andern von $\DD_{f}$, Monotonie,
Extremwerte und Terrassenpunkte. Zeichne den Grafen von $f$ im Intervall
$[-1;6]$. 
} 
\LSG{
Einzige Nullstelle bei $x_0=0$.\\[2mm]
$\D\lim_{x\to -\infty}f(x)=\left(\frac{\infty}{0^+}\right)=+\infty$\\[2mm]
$\D\lim_{x\to +\infty}f(x)=\left(\frac{\infty}{\infty}\right)=
\lim_{x\to +\infty}\frac{2x}{\e^{x-1}}=\left(\frac{\infty}{\infty}\right)=
\lim_{x\to +\infty}\frac{2}{\e^{x-1}}=0^+$\\[2mm]
$\D f(x)=x^2\cdot\e^{1-x}$\\[2mm]
$\D f'(x)=2x\e^{1-x}-x^2\e^{1-x}=x(2-x)\e^{1-x}$\\[2mm]
$\D f''(x)=2\e^{1-x}-2x\e^{1-x}-2x\e^{1-x}+x^2\e^{1-x}=(2-4x+x^2)\e^{1-x}$\\[2mm]
$\D f'''(x)=-2\e^{1-x}-4\e^{1-x}+4x\e^{1-x}+2x\e^{1-x}-x^2\e^{1-x}=
(-x^2+6x-6)\e^{1-x}$\\[2mm]
$\D f'(x)=0\,\,\DANN\,\, x_{11}=0,\quad x_{12}=2$,\quad
$\D f''(x)=0\,\,\DANN\,\,x_{21}=2-\sqrt{2},\quad x_{22}=2+\sqrt{2}$\\[2mm]
Da der Graf von $x(2-x)$ eine nach unten ge"offnete Parabel ist, folgt\\
$f'(x)<0$ f"ur $\D x<0$ und $x>2$, $f'(x)> 0$ f"ur $\D 0<x<2\QDQ$\\[2mm]
$f$ streng fallend in $\D ]-\infty;0[$ und $]2;+\infty[$, 
$f$ streng steigend in $\D ]0;2[$.\\[2mm]
$f'(x_{11})=0$ und $\D f''(x_{11})=2\e>0\QDQ$ Tiefpunkt bei 
$\D\EPUNKT{T}{0}{0}$\\[2mm]
$f'(x_{12})=0$ und $\D f''(x_{12})=-2\e^{-1}<0\QDQ$ Hochpunkt bei 
$\D\EPUNKT{T}{2}{\frac{4}{\e}}$\\[2mm]
Da der Graf von $2-4x+x^2$ eine Parabel ist, liegt bei den Nullstellen von $f''$ ein
Vorzeichenwechsel vor, d.h. Wendepunkte bei
\[\mathrm{W_1}\biggl(\underbrace{2-\sqrt{2}}_{0{,}59}\bigg|
\underbrace{(2-\sqrt{2})^2\e^{-1+\sqrt{2}}}_{0{,}52}\biggr)\quad\text{und}\quad
\mathrm{W_2}\biggl(\underbrace{2+\sqrt{2}}_{3{,}41}\bigg|
\underbrace{(2+\sqrt{2})^2\e^{-1-\sqrt{2}}}_{1{,}04}\biggr)\]
Alternativ "uber dritte Ableitung:
\[f'''(x_{21})=-2\sqrt{2}\e^{-1+\sqrt{2}}\neq 0\quad\text{und}\quad 
f'''(x_{22})=2\sqrt{2}\e^{-1-\sqrt{2}}\neq 0\]
\EPSC{11rr2561}{8cm}{}{
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$} \PSFM{1}{1}\PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} 
\PSFM{4}{4} \PSFM{5}{5} \PSFM{6}{6}\PSFM{-1}{$-1$} \PSFM{-2}{$-2$}
\PSFM{-3}{$-3$} \PSFM{-4}{$-4$} \PSFM{H}{H}\PSFM{F}{F} \PSFM{T}{T} 
\PSFM{W1}{W$_1$} \PSFM{W2}{W$_2$}
}
}
