\ANG{
Gegeben ist die Funktion $f(x)=ax^3+bx^2+x$ mit $a>0$ und $\DD=\RR$.
\begin{enumerate}
\item Geben Sie die Nullstellen der Funktion an.\\
F"ur welche Werte $a$ erh"alt man drei, zwei bzw.\ eine Nullstelle?
\item Berechnen Sie die x-Koordinaten der Punkte mit waagrechten Tangenten.\\
F"ur welche Werte $a$ erh"alt man zwei, einen bzw.\ keinen Punkt mit waagrechter
Tangente?
\item Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte.
\item Berechnen Sie die Ortskurve der Wendepunkte f"ur festes $b$ und variables $a$.
\item Geben Sie f"ur $a=\frac34$ und $b=2$ die Funktionsgleichung, Lage der
Extrema und Wendepunkte an.
\item Zeichnen Sie die Funktion mit den Parameterwerten aus (e).
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $x_1=0$, $x_{2/3}=\frac{1}{2a}(-b\pm\sqrt{b^2-4a})$,\\
eine Nullstelle, wenn $x_{2/3}$ nicht existiert, also wenn $a>\frac14b^2$\\
zwei Nullstellen, wenn $x_2=x_3$, also wenn $a=\frac14b^2$\\
drei Nullstellen, wenn $x_2$ und $x_3$ existieren und verschieden sind, also
wenn $a<\frac14b^2$
\item $f'(x)=3ax^2+2bx+1=0\Leftrightarrow$ 
      $x_{4/5}=\frac {1}{3a}(-b\pm\sqrt{b^2-3a})$\\
keine waagrechte Tangente, wenn $x_{4/5}$ nicht existieren, also wenn $a>\frac13b^2$\\
eine waagrechte Tangente, wenn $x_4=x_5$, also wenn $a=\frac13b^2$\\
zwei waagrechte Tangenten, wenn $x_4$ und $x_5$ existieren und verschieden sind,
also wenn $a<\frac13b^2$\\
\item $x_W=-\frac {b}{3a}$, $y_W=\frac {2b^3}{27a^2}-\frac{b}{3a}$
\item $y_w=\frac23 b x_w^2+x_w$
\item $f(x)=\frac34x^3+2x^2+x$, $N_1(0|0)$, $N_2(-2|0)$, $N_3(-\frac23|0)$,\\
$E_1(-0{,}30|-0{,}14)$, $E_2(-1{,}48|0{,}47)$, $W_1(-0{,}89|0{,}16)$
\item
\end{enumerate}
}
