\ANG{
Wir betrachten die Funktion $f$ mit der Gleichung\quad 
$\D f(x)=\frac{\cos x}{x-\frac{\pi}{2}}$.
\begin{enumerate}
\item Wie lautet die Definitionsmenge von $f$? Berechnen Sie die
  Nullstellen von $f$ im Intervall $I=[-3\pi\,,\,4\pi]$.
\item Weisen Sie nach, dass der Graph von $f$ zur Achse 
  $\D x=\frac{\pi}{2}$ symmetrisch ist.
\item Zeigen Sie, dass die Definitionsl"ucke von $f$ stetig
  geschlossen werden kann und schreiben Sie die stetige Fortsetzung
  $\tilde{f}$ hin. 
\item Berechnen Sie die Funktionswerte von $f$ in der Mitte zwischen
  den Nullstellen und zeichnen Sie den Graphen von $f$ im Intervall
  $I$ mit Kennzeichnung der Definitionsl"ucke 
  ($x=\pi\equiv 2\,$cm, $y=1\equiv 5\,$cm). 
\item Zeigen Sie, dass die Nullstellen von $f'$ der Gleichung
  \[\cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{\pi}{2}-x\]
  gen"ugen. Bestimmen Sie graphisch die ungef"ahre Lage der Maxima und 
  Minima von $f$.
\end{enumerate}
}
\LSG{
  \begin{enumerate}
  \item $\D\DD_{f}=\RR\setminus\left\{\frac{\pi}{2}\right\}$\qquad
    Nullstellen: $\D -\frac{5\pi}{2}$, $\D -\frac{3\pi}{2}$, 
    $\D -\frac{\pi}{2}$, $\D \frac{3\pi}{2}$, 
    $\D \frac{5\pi}{2}$, $\D \frac{7\pi}{2}$\\
  \item $\D f\left(\frac{\pi}{2}-h\right)=
     \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}-h\right)}{-h}=
     \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}+h\right)}{h}=
     f\left(\frac{\pi}{2}+h\right)$\\
  \item $\D\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{x-\frac{\pi}{2}}
         =\left(\frac{0}{0}\right)
         \stackrel{\text{de l'Hospital}}{=}
         \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{-\sin x}{1}=-1$\\[2mm]
        $\D\tilde{f}(x)=\begin{cases}
        f(x) &\text{f"ur $x\in\DD_{f}$}\\
        -1   &\text{f"ur $x=\frac{\pi}{2}$}
        \end{cases}$\\
  \end{enumerate}
(d) \parbox[t]{6cm}{ 
\EPS{11rr1941}{5cm}{}{
\PSFM{m1}{$-1$} \PSFM{1p}{$\pi$} \PSFM{2p}{$2\pi$} 
\PSFM{4p}{$4\pi$} \PSFM{m1p}{$-\pi$} \PSFM{m3p}{$-3\pi$} 
}\\
F"ur die Nullstellen von $f'$ gilt rechts von $\pi$ die
N"aherung $x_{k}\lessapprox k\,\pi$, und zwar umso genauer, je 
gr"o"ser $x$ ist.
}\hfill
(e) \parbox[t]{5cm}{ 
\EPS{11rr1942}{5cm}{}{
\PSFM{3}{$3\pi$} \PSFM{m3}{$-3\pi$} \PSFM{10}{10}   
}}
}
