\ANG{
Wir betrachten die Funktion $f$ mit der Gleichung
\[f(x)=\frac{1}{3}\,|x|\cdot\left(\frac{1}{3}\,x^{2}-x\right)-x\]
\begin{enumerate}
\item Wie lautet die maximale Definitionsmenge von $f$? Geben Sie eine 
  betragsfreie Darstellung von $f$ an und berechnen Sie
  die Nullstellen von $f$. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion
  an den R"andern von $\DD_{f}$.
\item Untersuchen Sie $f$ auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit.
\item Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion und
  berechnen Sie die Koordinaten der Extrema.
\item Untersuchen Sie das Kr"ummungsverhalten der Funktion und
  berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte.
\item Berechnen Sie noch ein paar geeignete Funktionswerte und
  zeichnen Sie den Graphen von $f$ im $x$-Intervall $[\,-2\,;6\,]$ in
  der Einheit 2\,cm auf beiden Achsen. 
\item Wie lauten die Gleichungen der Wendetangenten und wo schneiden
  sie sich?
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\DD_{f}=\RR$\\[2mm] 
  $\D f(x)=\begin{cases}
   -\frac{1}{3}\,x\cdot\left(\frac{1}{3}\,x^{2}-x\right)-x=
    -\frac{1}{9}\,x^{3}+\frac{1}{3}\,x^{2}-x& 
    \text{f"ur $x\leqq 0$}\\
   \quad\frac{1}{3}\,x\cdot\left(\frac{1}{3}\,x^{2}-x\right)-x=
    \frac{1}{9}\,x^{3}-\frac{1}{3}\,x^{2}-x & 
    \text{f"ur $x> 0$}
  \end{cases}$\\[2mm]
$\D x\leqq 0:\quad
 -x\left(\frac{1}{9}\,x^{2}-\frac{1}{3}\,x+1\right)=
 -x\left[\left(\frac{x}{3}-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}\right]=0$\\[2mm]
$\D x> 0:\quad
x\left(\frac{1}{9}\,x^{2}-\frac{1}{3}\,x-1\right)=
  x\left[\left(\frac{x}{3}-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{5}{4}\right]=0$\\[2mm]
Nullstellen bei $x_{01}=0$ und $x_{02}=\frac{3}{2}(1+\sqrt{5})\approx
4{,}85$\\[2mm]
$\D\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty$
\item $f$ ist in ganz $\RR$ stetig.\\[2mm]
  $\D f'(x)=\begin{cases}
      -\frac{1}{3}\,x^{2}+\frac{2}{3}\,x-1=
      -\frac{1}{3}\left[(x-1)^{2}+2\right] & 
    \text{f"ur $x\leqq 0$}\\
    \quad\frac{1}{3}\,x^{2}-\frac{2}{3}\,x-1=
     \frac{1}{3}\left[(x-1)^{2}-4\right]  & 
    \text{f"ur $x> 0$}
  \end{cases}$\\[2mm]
$\D\lim_{x\to 0^{+}}f'(x)=\lim_{x\to 0^{-}}f'(x)=-1$, d.h. $f$ ist in ganz
$\RR$ differenzierbar.
\item $f'(x)<0$ f"ur $x<3$, $f'(3)=0$, $f'(x)>0$ f"ur $x>3\quad\DANN$\\[2mm]
  relatives Minimum bei $(3|-3)$
\item   $\D f''(x)=\begin{cases}
      -\frac{2}{3}\,x+\frac{2}{3}=
      -\frac{2}{3}(x-1) & 
    \text{f"ur $x\leqq 0$}\\
    \quad\frac{2}{3}\,x-\frac{2}{3}=
     \frac{2}{3}(x-1)  & 
    \text{f"ur $x> 0$}
  \end{cases}$\\[2mm]
$f''(x)>0$ f"ur $x<0$ und f"ur $x>1$, $f''(x)<0$ f"ur $0<x<1\quad\DANN$
Wendepunkte bei $(0|0)$ und $\EPUNKT{}{1}{-\frac{11}{9}}$
\item
  \begin{tabular}[t]{c|c|c|c|c|c|c}
  $x$    & $-2$ & $-1$ & 2 & 4 & 5 & 6 \\\hline
  $f(x)$ & 4,22 & 1,44 & $-2{,}44$ & $-2{,}22$ & 0,55 & 6 
  \end{tabular}

\EPSC{11rr204}{8cm}{}{} 
\item $f'(0)=-1\quad\DANN\quad t_{1}(x)=-x$\\[2mm]
  $f'(1)=-\frac{4}{3}\quad\DANN\quad 
  t_{2}(x)=-\frac{11}{9}-\frac{4}{3}(x-1)=-\frac{4}{3}x+\frac{1}{9}$\\[2mm]
  Schnittpunkt von $t_{1}$ und $t_{2}$ bei $\EPUNKT{}{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}}$
\end{enumerate}
}

