\ANG{
Wir betrachten die Funktion $f$ mit der Gleichung
\[f(x)=\frac{1}{8}\,x^{3}-\frac{3}{2}\,x^{2}+\frac{9}{2}\,x\]
im maximalen Definitionsbereich $\DD_{f}=\RR$.
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie die Nullstellen von $f$.
\item Untersuchen Sie $f$ auf Monotonie und auf Extremwerte.
\item Ermitteln Sie das Kr"ummungsverhalten von $f$ und die Wendepunkte.
\item Zeichnen Sie den Grafen von $f$ im $x$-Intervall $[-0{,}5;8]$ in der
  Einheit 1\,cm.  
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D f(x)=\frac{x}{8}\left(x^{2}-12x+36\right)=
  \frac{x}{8}(x-6)^{2}\qquad f(x)=0\quad\DANN\quad x_{01}=0,\,\,x_{02}=6$
\item $\D f'(x)=\frac{3}{8}x^{2}-3x+\frac{9}{2}=
  \frac{3}{8}\left(x^{2}-8x+12\right)\qquad f'(x)=0\quad\DANN\quad
  x^{2}-8x+4^{2}=-12+16$\\[2mm]
  $x_{11}=2$, $x_{12}=6$,\qquad $f'$ ist eine nach oben ge"offnete Parabel
  $\DANN$\\[2mm]
  $\left.\begin{array}{l}
   \text{$f'(x)>0$ und $f$ streng steigend in $]-\infty;2[$ und in 
    $]6;\infty[$}\\
   \text{$f'(x)<0$ und $f$ streng fallend in $]2;6[$}
  \end{array}\right\}\,\DANN\,\left\{
  \begin{array}{l}
   \text{rel. Max. bei $(2|4)$}\\
   \text{rel. Min. bei $(6|0)$}
  \end{array}\right.$
\item $\D f''(x)=\frac{3}{4}x-3\qquad f''(x)=0\quad\DANN\quad
  x_{2}=4\quad\DANN$\\[2mm]
  $\left.\begin{array}{l}
   \text{$f''(x)<0$ und $f$ rechtsgekr"ummt in $]-\infty;4[$}\\
   \text{$f'(x)>0$ und $f$ linksgekr"ummt in $]4;\infty[$}
  \end{array}\right\}\,\DANN\,\text{Wendepunkt bei $(4|2)$}$
\item
\EPSR{3cm}{11rr231}{9cm}{}{}{
 \begin{tabular}[t]{c|c}
   $x$& $f(x)$\\\hline
   $-0{,}5$ & $-2{,}64$\\
   0 & 0\\
   1 & 3,125\\
   3 & 3,375\\
   5 & 0,625\\
   7 & 0,875\\
   8 & 4  \\\hline
   $x$ & $f''(x)$\\\hline
   2 & -1,5 \\
   6 & +1,5 \\
   8 & 4  \\\hline
   $x$ & $f'''(x)$\\\hline
   4 & 0,75 \\
  \end{tabular}
}
\end{enumerate}
}
