\ANG{
Magdalena hat beim Stehendschie"sen die Trefferwahrscheinlichkeit $p=80\%$.
\begin{enumerate}
\item Magdalena schie"st zwanzigmal. Wie gro"s ist die Wahrscheinlichkeit
  $p_{1}$, dass sie folgende Serie schie"st: 10011 11011 10111 01111?
\item Wie gro"s ist die Wahrscheinlichkeit $p_{2}$, dass sie bei zwanzig
  Sch"ussen genau 15 Treffer landet?
\item Eine Serie besteht aus f"unf Sch"ussen, eine Topserie aus f"unf
  Treffern. Mit welcher Wahrscheinlichkeit $p_{\text{T}}$ schie"st Lena eine
  Topserie? Wie viele Serien muss Magdalena mindestens schie"sen, damit mit
  mindestens 95\%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens eine Topserie dabei ist?
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D p=\frac 45=0{,}8$, $\D q=1-p=\frac 15=0{,}2$, 
  $\D p_{1}=p^{15}q^{5}=\frac{4^{15}}{5^{20}}=1{,}126\cdot 10^{-5}$
\item $\D p_{2}=\binom{20}{15}p^{15}q^{5}=
\underbrace{\binom{20}{5}}_{15504}p^{15}q^{5}=
\frac{15504\cdot 4^{15}}{5^{20}}=17{,}46\%$
\item $\D p_{\text{T}}=p^{5}=\frac{4^{5}}{5^{5}}=\frac{1024}{3125}=
0{,}32768=32{,}768\%$\\[2mm]
$\D q_{\text{T}}=1-p_{\text{T}}=\frac{2101}{3125}=
0{,}67232=67{,}232\%$\\[2mm]
$\D P(\text{\GF{kein Treffer}})=q_{\text{T}}^{n}$,\quad
$\D P(\text{\GF{mindestens ein Treffer}})=1-q_{\text{T}}^{n}$
\[1-q_{\text{T}}^{n}\geqq 0{,}95\QDQ
q_{\text{T}}^{n}\leqq 0{,}05\QDQ
n\geqq\frac{\ln 0{,}05}{\ln q_{\text{T}}}=7{,}55\]
Lena muss mindestens acht Serien schie"sen.
\end{enumerate}
}
