\ANG{
Untersuche auf lineare Abh"angigkeit:
\begin{enumerate}
\item $\D\vec{a}=\RVEKTOR{r}{4}{-3}{1},\,
\vec{b}=\RVEKTOR{r}{-5}{-2}{3}$ und 
$\D\vec{c}=\RVEKTOR{r}{21}{-5}{-3}$\\[2mm]
\item $\D\vec{e}=\RVEKTOR{r}{2}{1}{1},\,
\vec{f}=\RVEKTOR{r}{1}{-1}{2}$ und 
$\D\vec{g}=\RVEKTOR{r}{9}{12}{-3}$
\item Stelle, wenn m"oglich, $\vec x=\RVEKTOR{r}{-8}{1}{2}$ als Linearkombination
von $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ bzw. $\vec{e}$, $\vec f$ und $\vec{g}$ dar.
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Aus $\lambda\vec a+\mu\vec b+\nu\vec c=\vec o$ folgt
\begin{align*}
&&4\lambda-5\mu+21\nu &= 0&&(1)\\
&&-3\lambda-2\mu-5\nu &= 0&&(2)\\
&&\lambda+3\mu-3\nu &= 0&&(3)\\\cline{3-4}
(3)&:&\lambda+3\mu-3\nu &= 0&&(4)\\
(2)+3\cdot(3)&:&7\mu-14\nu &= 0&&(5)\\
(1)-4\cdot(3)&&-17\mu+33\nu &= 0&&(6)\\\cline{3-4}
(4)&:&\lambda+3\mu-3\nu &= 0&&(7)\\
(5)&:&7\mu-14\nu &= 0&&(8)\\
17\cdot(5)+7\cdot(6)&:&-7\nu &= 0&&(9)
\end{align*}
$\DANN\quad\lambda=\mu=\nu=0$, 
also sind $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ linear unabh"angig.
\item Aus $\lambda\vec e+\mu\vec f+\nu\vec g=\vec o$ folgt
\begin{align*}
&&2\lambda+\mu+9\nu &= 0&&(1)\\
&&\lambda-\mu+12\nu &= 0&&(2)\\
&&\lambda+2\mu-3\nu &= 0&&(3)\\\cline{3-4}
(3)&:&\lambda+2\mu-3\nu &= 0&&(4)\\
(2)-(3)&:&-3\mu+15\nu &= 0&&(5)\\
(1)-2\cdot(3)&&-3\mu+15\nu &= 0&&(6)\\\cline{3-4}
(5)\text{ bzw. }(6)&:&\mu &= 5\nu&&(7)\\
(7)\text{ in }(1)&:&\lambda &= -7\nu&&(8)
\end{align*}
Z.B. f"ur $\nu=1$ folgt $-7\vec e+5\vec f+\vec g=\vec o$,
also sind $\vec e$, $\vec f$ und $\vec g$ linear abh"angig.
\item Da $\vec{a}$, $\vec b$ und $\vec{c}$ linear unabh"angig sind, gibt es 
$\lambda, \mu, \nu\in\RR$ mit $\vec x=\lambda\vec a+\mu\vec b+\nu\vec c\quad\DANN$
\begin{align*}
&&4\lambda-5\mu+21\nu &= -8&&(1)\\
&&-3\lambda-2\mu-5\nu &= 1&&(2)\\
&&\lambda+3\mu-3\nu &= 2&&(3)\\\cline{3-4}
(3)&:&\lambda+3\mu-3\nu &= 2&&(4)\\
(2)+3\cdot(3)&:&7\mu-14\nu &= 7&&(5)\\
(1)-4\cdot(3)&&-17\mu+33\nu &= -16&&(6)\\\cline{3-4}
(4)&:&\lambda+3\mu-3\nu &= 2&&(7)\\
(5)&:&7\mu-14\nu &= 7&&(8)\\
17\cdot(5)+7\cdot(6)&:&-7\nu &= 7&&(9)\\
&&\nu&=-1&&(10)\\
(10)\text{ in }(8)&:&\mu&=-1&&(11)\\
(10)\text{ und }(11)\text{ in }(7)&:&\lambda&=2&&
\end{align*}
\[\vec x=2\vec a-\vec b-\vec c\]
Obwohl $\vec e$, $\vec f$ und $\vec g$ linear abh"angig sind, k"onnte $\vec x$ zu
$\vec e$, $\vec f$ und $\vec g$ komplanar sein. Wir setzen einfach an:
$\vec x=\lambda\vec e+\mu\vec f+\nu\vec g$:
\begin{align*}
&&2\lambda+\mu+9\nu &= -8&&(1)\\
&&\lambda-\mu+12\nu &= 1&&(2)\\
&&\lambda+2\mu-3\nu &= 2&&(3)\\\cline{3-4}
(3)&:&\lambda+2\mu-3\nu &= 2&&(4)\\
(2)-(3)&:&-3\mu+15\nu &= -1&&(5)\\
(1)-2\cdot(3)&&-3\mu+15\nu &= -12&&(6)
\end{align*}
(5) und (6) sind nicht gleichzeitig erf"ullbar, das Gleichungssystem hat keine L"osung,
$\vec x$ ist nicht als Linearkombination von $\vec{e}$, $\vec f$ und $\vec{g}$ darstellbar.
\end{enumerate}
}
