\ANG{
Berechne die Schnittmenge der Geraden
\[g:\quad\vec x=\RVEKTOR{r}{5}{3}{4}+\lambda\RVEKTOR{r}{-4}{5}{4}\]
mit den Ebenen
\begin{enumerate}
\item $x_1x_2$-Ebene
\item $x_1x_3$-Ebene
\item $x_2x_3$-Ebene
\item $\D E_1:\quad 2x_1-4x_2+5x_3-20=0$
\item $\D E_2:\quad$Ebene durch A$(-1\,|\,0\,|{-3})$, B$(-5\,|\,2\,|\, 1)$ und C$(-1\,|\,4\,|{-3})$
\item $\D E_3:\quad$Ebene durch F$(5{,}8\,|\,0\,|\,0)$, G$(0\,|\,\frac{29}8\,|\, 0)$ und H$(0\,|\,0\,|{-5{,}8})$
\end{enumerate}
Veranschauliche den ganzen Sachverhalt in einem Schr"agbild.
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $x_{3}=0\QDQ\lambda=-1\QDQ$ Schnittpunkt:
$\RPUNKT{S_{12}}{9}{-2}{0}$
\item $\D x_{2}=0\QDQ\lambda=-\frac 35=-0{,}6\QDQ$ Schnittpunkt:
$\RPUNKT{S_{13}}{\frac{37}{5}}{0}{\frac 85}=
\RPUNKT{S_{13}}{7{,}4}{0}{1{,}6}$
\item$x_{3}=0\QDQ\lambda=\frac 54=1{,}25\QDQ$ Schnittpunkt:
$\RPUNKT{S_{23}}{0}{\frac{37}4}{9}=\RPUNKT{S_{23}}{0}{9{,}25}{9}$
\item $g$ in $E_{1}$:\quad 
$2(5-4\lambda)-4(3+5\lambda)+5(4+4\lambda)-20=0\QDQ -8\lambda-2=0$\\[2mm]
$\D\lambda=-\frac 14$ in $g$:\quad
$\RPUNKT{S_{E1}}{6}{\frac{7}4}{3}=\RPUNKT{S_{E1}}{6}{1{,}75}{3}
\QDQ\LL=\{\mathrm{S}_{E1}\}$
\item $\VPFEIL{\mathrm{AB}}=\RVEKTOR{r}{-4}{2}{4}$,\quad
$\VPFEIL{\mathrm{AC}}=\RVEKTOR{r}{0}{4}{0}$,\quad
$\vec n_2'=\VPFEIL{\mathrm{AB}}\times\VPFEIL{\mathrm{AC}}=\RVEKTOR{r}{-16}{0}{-16}$,\quad
$\D\vec n_2=-\frac{\vec n_2'}{16}=\RVEKTOR{r}{1}{0}{1}$\\[2mm]
$\D E_2:\quad\vec n(\vec x-\vec a)=0\QDQ x_1+x_3+4=0$\\[2mm]
$g$ in $E_{2}$:\quad 
$5-4\lambda+4+4\lambda-20=0\QDQ 13=0\QDQ\LL=\emptyset$
\item F, G und H sind Achsenpunkte, also Achsenabschnittsform:
\[E_3:\quad\frac{x_1}{5{,}8}+\frac{8x_2}{29}-\frac{x_3}{5{,}8}=1\,\vline\cdot 58\QDQ
5x_1+8x_2-5x_3-29=0\]
$g$ in $E_{3}$:\quad 
$5(5-4\lambda)+8(3+5\lambda)-5(4+4\lambda)-29=0\QDQ 0=0$\\[2mm]
Die Gleichung ist f"ur jedes $\lambda$ erf"ullt, d.h. $g\subset E_3$ oder $\LL=g$.
\end{enumerate}
\EPSC{12rr0661}{12cm}{}{
\PSFM{6}{6} \PSFM{7}{7} \PSFM{9}{9} \PSFM{x1}{$x_1$}
\PSFM{x2}{$x_2$} \PSFM{x3}{$x_3$} \PSFM{A}{A} \PSFM{B}{B}
\PSFM{C}{C} \PSFM{E1}{$E_1$}  \PSFM{E2}{$E_2$}  \PSFM{E3}{$E_3$} 
\PSFM{g}{$g$} \PSFM{}{}   
}
}
