\ANG{
Die Ebene $E$ enth"alt die Punkte $\RPUNKT{A}{3}{3}{3}$, $\RPUNKT{B}{7}{6}{2}$ und 
$\RPUNKT{C}{2}{7}{4}$, die Gerade $g$ geht durch die Punkte
$\RPUNKT{F}{14}{15}{8}$ und $\RPUNKT{G}{13}{10}{4}$.
\begin{enumerate}
\item Stelle die Gleichungen von $E$ und $g$ in der Parameterform auf.
\item Berechne die Koordinaten der Achsenpunkte von $E$.
\item Berechne die Koordinaten der Spurpunkte von $g$.
\item Berechne die Schnittmenge von $E$ und $g$.
\item Stelle die Gleichung einer Ebene $E'$ auf, die parallel zu $g$ ist, den Punkt A enth"alt 
und deren Spurgerade in der $x_1x_2$-Ebene parallel zur $x_2$-Achse verl"auft.
\end{enumerate}
Veranschauliche den ganzen Sachverhalt in einem Schr"agbild.
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D E:\quad\vec x=\VPFEIL{\mathrm{A}}+\lambda\VPFEIL{\mathrm{AB}}+\mu\VPFEIL{\mathrm{AC}}=
\RVEKTOR{r}{3}{3}{3}+\lambda\RVEKTOR{r}{4}{3}{-1}+\mu\RVEKTOR{r}{-1}{4}{1}$\\[2mm]
$\D g:\quad\vec x=\VPFEIL{\mathrm{G}}+\lambda\VPFEIL{\mathrm{GF}}=
\RVEKTOR{r}{13}{10}{4}+\sigma\RVEKTOR{r}{1}{5}{4}$
%%%
\item $E\cap x_3$-Achse$\QDQ x_1=x_2=0$:
\vspace{-7mm}
\begin{align*}
&&4\lambda-\mu &=-3&&(1)\\
&&3\lambda+4\mu &=-3&&(2)\\\cline{3-4}
4\cdot(1)+(2)&:& 19\lambda &= -15&&(3)\\
&& \lambda&= -\frac{15}{19}&&(4)\\
(4)\text{ in }(1)&:&\mu &=  -\frac{3}{19} &&(5)\\
(4)\text{ und }(5)\text{ in }E&:&\RPUNKT{A_{3}}{0}{0}{\frac{69}{19}}&&&
\end{align*}
Analog zeigt man:\quad$\RPUNKT{A_{2}}{-23}{0}{0}$,\quad$\D\RPUNKT{A_{1}}{0}{\frac{69}{7}}{0}$
%%%
\item $g\cap x_1x_2$-Ebene$\,\,\DANN\,\, x_3=4+4\sigma=0\,\,\,\,\,\DANN\,\,\sigma=-1\,\,\,\,\,\DANN\,\,
\RPUNKT{S_{12}}{12}{5}{0}$\\[2mm]
$g\cap x_1x_3$-Ebene$\,\,\DANN\,\, x_2=10+5\sigma=0\,\,\DANN\,\,\sigma=-2\,\,\,\,\,\DANN\,\,
\RPUNKT{S_{13}}{11}{0}{-4}$\\[2mm]
$g\cap x_2x_3$-Ebene$\,\,\DANN\,\, x_1=13+\sigma=0\,\,\,\,\,\DANN\,\,\sigma=-13\,\,\DANN\,\,
\RPUNKT{S_{23}}{0}{-55}{-48}$
\item $E\cap g\QDQ x_E=x_g\QDQ$:
\vspace{-7mm}
\begin{align*}
&&4\lambda-\mu-\sigma &= 10&&(1)\\
&&3\lambda+4\mu-5\sigma &=7&&(2)\\
&&-\lambda+\mu-4\sigma &= 1&&(3)\\\cline{3-4}
(1)&:&4\lambda-\mu-\sigma &= 10&&(4)\\
3\cdot(1)-4\cdot (2)&:&-19\mu+17\sigma&= 2&&(5)\\
(1)+4\cdot (3)&:& 3\mu-17\sigma&= 14&&(6)\\\cline{3-4}
(5)+(6)&:&-16\mu &=16&&(7)
\end{align*}
\[\QDQ\mu=-1,\quad\sigma=-1,\quad\lambda=2\]
\[\sigma\text{ in }g\QDQ E\cap g=\{\mathrm{S}\}\quad\text{mit}\quad\RPUNKT{S}{12}{5}{0}\]
%%%
\item Richtungsvektoren von $E'$:\quad$\D\vec w=\VPFEIL{\mathrm{GF}}=\RVEKTOR{r}{1}{5}{4}$
und $\vec y=\RVEKTOR{r}{0}{1}{0}$, da jeder zur Spurgeraden parallele
Vektor als Richtungsvektor verwendet werden kann.
\[E':\quad\vec x=\VPFEIL{\text{A}}+s\vec w+t\vec y=\RVEKTOR{r}{3}{3}{3}+
s\RVEKTOR{r}{1}{5}{4}+t\RVEKTOR{r}{0}{1}{0}\]
F"ur die Spurgerade $h$ in der $x_1x_2$-Ebene gilt $x_3=0\QDQ$
\[x_3=3+4s=0\QDQ s=-\frac 34\]
$s$ in $E'$:
\[h:\quad\vec x=\RVEKTOR{r}{3}{3}{3}-
\frac 34\RVEKTOR{r}{1}{5}{4}+t\RVEKTOR{r}{0}{1}{0}=
\frac 14\RVEKTOR{r}{9}{-3}{0}+t\RVEKTOR{c}{0}{1}{0}\]
%$h$ parallel zur $x_2$-Achse$\QDQ x_1=\frac 14[9+t(4y_1-y_3)]$ muss f"ur alle $t$ konstant sein,
%d.h. $4y_1-y_3=0\QDQ$
%\[h:\quad\vec x=
%\frac 14\RVEKTOR{r}{9}{-3}{0}+\frac t4\RVEKTOR{c}{0}{4y_2-5y_3}{0}\]
%$h$ ist die Parallele zur $x_2$-Achse in der $x_1x_2$-Ebene durch $\RPUNKT{H}{\frac 94}{0}{0}$.
%Da $h\subset E'$, gilt auch $H\in E'$, d.h. $\VPFEIL{\mathrm{AH}}$ ist ein Richtungsvektor
%von $E'$:
%\[\VPFEIL{\mathrm{AH}}=\RVEKTOR{r}{-\frac 34}{-3}{-3},\quad
%\text{wir w"ahlen: }\vec y=-\frac 43\VPFEIL{\mathrm{AH}}=\RVEKTOR{r}{1}{4}{4}\quad\DANN\]
%\[E':\quad\vec x=\RVEKTOR{r}{3}{3}{3}+
%s\RVEKTOR{r}{1}{5}{4}+t\RVEKTOR{r}{1}{4}{4}\]
\end{enumerate}
\EPSC{12rr0871}{14cm}{}{
\PSFM{2}{2} \PSFM{7}{7} \PSFM{9}{9} \PSFM{x1}{$x_1$}
\PSFM{x2}{$x_2$} \PSFM{x3}{$x_3$} \PSFM{A}{A} \PSFM{B}{B}
\PSFM{C}{C} \PSFM{E}{$E$}  \PSFM{S12}{S$_{12}$}  \PSFM{S13}{S$_{13}$}  
\PSFM{A1}{A$_1$} \PSFM{G}{G}\PSFM{F}{F} 
\PSFM{g}{$g$} \PSFM{A3}{A$_3$}   
} 
}
