\ANG{
Von einem brettebenen Slalomhang (Ebene E) sind die Punkte
A$(0|0|40)$, B$(50|20|0)$ und C$(-20|55|20)$ bekannt
(alle Koordinaten verstehen sich in Metern).
\begin{enumerate}
\item Stelle die Gleichung von E in der vektorfreien Normalenform mit m"oglichst
  kleinen ganzen Zahlen auf.  
\item Berechne die fehlende Koordinate des Startpunktes S$(-10|s_{2}|60)$ auf dem Hang. 
\item Berechne die Koordinaten der Achsenpunkte A$_1$ und A$_2$ von $E$ 
(Schnittpunkte von $E$ mit der $x_1$- und $x_2$-Achse). 
Zeichne alle bisher behandelten Punkte
und die Spurgeraden der Ebene $E$ in ein Schr"agbild 
(Einheit: $10\,\text{m}\,\widehat{=}\, 1\,\text{cm}$).
\item Welchen spitzen Winkel $\varphi$ schlie"st $E$ mit der $x_1x_2$-Ebene (Talboden) ein?
Welche Steigung (in Prozent) hat demnach der Slalomhang?
\item Zeige, dass die Spurgerade $t$ von $E$ in der $x_1x_2$-Ebene (wir nennen sie die 
{\em Tallinie}) durch die Gleichung
\[t:\quad x_2=70-x_1\]
beschrieben wird.
\item Ein Abfahrer f"ahrt geradlinig und auf dem k"urzesten Weg vom Start S ins Tal und erreicht 
die Tallinie im Punkt Y$(y_1|y_2|0)$. Berechne die Koordinaten von Y und die L"ange
$\overline{\text{SY}}$. 

Tipp: Verwende den Vektor $\VPFEIL{\mathrm{A_1A_2}}$.
\item Ein Bauer, dem das viereckige Grundst"uck A$_1$A$_2$CS geh"ort, m"ochte es als Baugrund f"ur 
400\,\EUR{} pro m$^2$ verkaufen. Welchen Preis w"urde er dabei erzielen?
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D\VPFEIL{\text{AB}}=\RVEKTOR{r}{50}{20}{-40}=10\RVEKTOR{r}{5}{2}{-4}$,\quad
 $\D\VPFEIL{\text{AC}}=\RVEKTOR{r}{-20}{55}{-20}=5\RVEKTOR{r}{-4}{11}{-4}$
\[\vec{n}'=\VPFEIL{\text{AB}}\times\VPFEIL{\text{AC}}=
50\cdot\left|\begin{array}[c]{rrr}
\vec{e}_1 & \vec{e}_2 & \vec{e}_3 \\
5&2&-4\\
-4&11&-4
\end{array}\right|=50\RVEKTOR{c}{2\cdot(-4)-(-4)\cdot 11}
                                                {(-4)\cdot(-4)-5\cdot(-4)}
                                                {5\cdot 11-2\cdot(-4)}=
50\RVEKTOR{c}{36}{36}{63}
\]
\[\vec{n}'=450\RVEKTOR{c}{4}{4}{7}=\RVEKTOR{c}{1800}{1800}{3150},\quad\text{wir w"ahlen}\quad
\vec{n}=\RVEKTOR{c}{4}{4}{7}\]
Mit $\vec a=\VPFEIL{\text{OA}}=\RVEKTOR{r}{0}{0}{40}$ folgt $\vec n\vec a=7\cdot 40=280$ 
und damit
\[\vec{n}(\vec x-\vec a)=0\QDQ E:\,\,4x_1+4x_2+7x_3-280=0\]
%%
\item $\text{S}\in E\QDQ 4\cdot(-10)+4s_2+7\cdot 60=280\QDQ s_2=-25$
\item \EPSR{3.2cm}{12rr0641}{10cm}{}{
\PSFM{1}{10} \PSFM{6}{60}
\PSFM{A}{A} \PSFM{B}{B} \PSFM{x1}{$x_1$} \PSFM{x2}{$x_2$} \PSFM{x3}{$x_3$}
\PSFM{A1}{A$_1$} \PSFM{A2}{A$_2$} \PSFM{7}{70} \PSFM{C}{C}   \PSFM{O}{O}   
}{
A$_1$: $x_2=x_3=0$

$\DANN$
$4x_1=280$

$\DANN x_1=70$\\[2mm]
A$_2$: $x_1=x_3=0$

$\DANN$
$4x_2=280$

$\DANN x_2=70$
}
%%
\item Normalenvektor der $x_1x_2$-Ebene: $\vec e_3=\RVEKTOR{c}{0}{0}{1}$,\quad
$\D |\vec n|=\sqrt{4^2+4^2+7^2}=\sqrt{81}=9$
\[\cos\varphi=\frac{\vec e_3\vec n}{|\vec e_3|\cdot|\vec n|}=
\frac{7}{1\cdot 9}\QDQ\varphi=38{,}94^\circ,\quad
\text{Steigung:} \tan\varphi=80{,}8\%\]
%%
\item Es gen"ugt zu zeigen, dass A$_1$ und A$_2$ auf $t$ liegen:
\[t(70)=0\QDQ\text{A}_1\in t,\quad
t(0)=70\QDQ\text{A}_2\in t\]
\item $\text{Y}\in t\QDQ \text{Y}(y_1|70-y_1|0),\quad
\VPFEIL{\mathrm{A_1A_2}}=\RVEKTOR{r}{-70}{70}{0},\quad
\VPFEIL{\mathrm{SY}}=\RVEKTOR{c}{y_1+10}{95-y_1}{-60}$
\[\VPFEIL{\mathrm{A_1A_2}}\bot\VPFEIL{\mathrm{SY}}\QDQ
\VPFEIL{\mathrm{A_1A_2}}\cdot\VPFEIL{\mathrm{SY}}=-70(y_1+10)+70(95-y_1)=0\]
\[-y_1-10+95-y_1=0\QDQ y_1=42{,}5\]
\[y_2=70-y_1=27{,}5\QDQ\text{Y}(42{,}5|27{,}5|0)\]
\[\VPFEIL{\mathrm{SY}}=\RVEKTOR{c}{52{,}5}{52{,}5}{-60}\QDQ
\overline{\mathrm{SY}}=\sqrt{2\cdot 52{,}5^2+60^2}\approx{95{,}5}\]
%%
\item $\VPFEIL{\mathrm{A_2A_1}}=\RVEKTOR{r}{70}{-70}{0}$,\quad 
$\VPFEIL{\mathrm{A_2S}}=\RVEKTOR{r}{-10}{-95}{60}$,\quad
$\VPFEIL{\mathrm{A_2C}}=\RVEKTOR{r}{-20}{-15}{20}$ 
\[\VPFEIL{\mathrm{A_2S}}\times\VPFEIL{\mathrm{A_2A_1}}=
\left|\begin{array}[c]{rrr}
\vec{e}_1 & \vec{e}_2 & \vec{e}_3 \\
-10&-95&60\\
70&-70&0\\
\end{array}\right|=
\RVEKTOR{c}{4200}{4200}{7350},\quad
\left|\VPFEIL{\mathrm{A_2S}}\times\VPFEIL{\mathrm{A_2A_1}}\right|=9450
\]
\[\VPFEIL{\mathrm{A_2C}}\times\VPFEIL{\mathrm{A_2S}}=
\left|\begin{array}[c]{rrr}
\vec{e}_1 & \vec{e}_2 & \vec{e}_3 \\
-20&-15&20\\
-10&-95&60\\
\end{array}\right|=\RVEKTOR{c}{1000}
                                                {1000}
                                                {1750},\quad
\left|\VPFEIL{\mathrm{A_2C}}\times\VPFEIL{\mathrm{A_2S}}\right|=2250
\]
\[F=\frac 12\left|\VPFEIL{\mathrm{A_2S}}\times\VPFEIL{\mathrm{A_2A_1}}\right|+
\frac 12\left|\VPFEIL{\mathrm{A_2C}}\times\VPFEIL{\mathrm{A_2S}}\right|=
5850\] 
Preis:\quad$3{,}51\cdot 10^6\,\MEUR$
\end{enumerate}
}
