\ANG{{\bfseries Auf Kollisionskurs}\\[2mm]
Ein K"orper K bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit $\vec v$, zur Zeit $t_1$
befindet er sich am Ort $\vec x_1$. Der Ort von K zur Zeit $t$ ist dann
\[\vec x(t)=\vec x_1+(t-t_1)\vec v,\]
die Gleichung der Bahnkurve (Gerade $g$) von K lautet:
\[g:\quad \vec x=\vec x_1+\lambda\vec v,\quad\lambda\in\RR\]
Aus dem Protokoll einer Flug"uberwachung:\\[2mm]
\begin{tabular}{c|crrrrrr}
 Flugzeug & Zeit & $x$ in m & $y$ in m & $z$ in m & $v_x$ in $\RFRAC{m}{s}$ & 
$v_y$  in $\RFRAC{m}{s}$ & $v_z$ in $\RFRAC{m}{s}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\\hline
Airbus & 00:00:00 & 10000 & 2000 & 3000 & $-50$ & $-100$ & 20 \\
Kampfjet & 00:00:39 & 9500 & 1000 & 1600 & $-100$ & $-200$ & 120
\end{tabular}\\[2mm]
\begin{enumerate}
\item Berechne die Betr"age der Flugzeuggeschwindigkeiten.
\item Unter welchem Winkel, gegebenenfalls nach einer Parallelverschiebung, schneiden sich die Flugbahnen?
\item Wo sind die beiden Flugzeuge, gerade Flugbahnen vorausgesetzt, auf der H"ohe null gestartet?
\item Untersuche, ob sich die Flugbahnen der beiden Maschinen schneiden und ob es zu einer
Kollision kommt.
\item Berechne die minimale Entfernung der beiden Flugzeuge.
\end{enumerate}
%\vspace{-8mm}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\vec{v}_{\text{A}}=\RVEKTOR{r}{-50}{-100}{20}\,\RFRAC{m}{s}
\QDQ |\vec{v}_{\text{A}}|=\sqrt{12900}\,\RFRAC{m}{s}\approx
 116\,\RFRAC{m}{s}=409\,\RFRAC{km}{h}$\\[2mm] 
$\vec{v}_{\text{K}}=\RVEKTOR{r}{-100}{-200}{120}\,\RFRAC{m}{s}
\QDQ |\vec{v}_{\text{K}}|=\sqrt{64400}\,\RFRAC{m}{s}\approx
 254\,\RFRAC{m}{s}=914\,\RFRAC{km}{h}$
\item $\D\cos\varphi=\frac{\vec{v}_{\text{A}}\vec{v}_{\text{K}}}
{|\vec{v}_{\text{A}}|\cdot|\vec{v}_{\text{K}}}|=0{,}9506\QDQ
\varphi=18{,}1^{\circ}$
\item Bahnkurven ohne Einheiten:
\begin{align*}
 \text{Airbus:}&&\quad g_{\text{A}}:\quad
\vec x&=\RVEKTOR{r}{10000}{2000}{3000}+
\lambda\RVEKTOR{r}{-50}{-100}{20}\\
 \text{Jet:}&&\quad g_{\text{K}}:\quad
\vec x&=\RVEKTOR{r}{9500}{1000}{1600}+
\mu\RVEKTOR{r}{-100}{-200}{120}   
\end{align*}
$x_{3}=0\QDQ \lambda=-150$ und $\D\mu=-\frac{40}{3}$. Die Startorte sind dann
\[s_{\text{A}}=\RVEKTOR{r}{17{,}5}{17{,}0}{0{,}0}\text{km}\quad\text{und}\quad
s_{\text{K}}\approx\RVEKTOR{r}{10{,}83}{3{,}67}{0{,}00}\,\text{km}
\]
\item\mbox{}
\vspace{-8mm}
\begin{align*}
g_{\text{A}}=g_{\text{K}}&\DANN&50\lambda-100\mu &= 500&&(1)\\
&&100\lambda-200\mu &=1000&&(2)\\
&&-20\lambda+120\mu &=1400&&(3)\\\cline{3-4}
(1)\text{ und }(2)\text{ identisch}&:&\lambda-2\mu&=10&&(4)\\
&&-\lambda+6\mu&=70&&(5)\\\cline{3-4}
(4)+(5)&&4\mu&=80&&\\
&&\mu=20,&\quad\lambda=50&&\\
\end{align*}
\vspace{-8mm}

Die Flugbahnen schneiden sich in $\RPUNKT{S}{7500}{-3000}{4000}$.

Orte der Flugzeuge:
\begin{align*}
 \text{Airbus:}&&
\vec x_{\text{A}}(t)&=\RVEKTOR{r}{10000}{2000}{3000}\text{m}+
t\cdot\RVEKTOR{r}{-50}{-100}{20}\RFRAC{m}{s}\\
 \text{Jet:}&&
\vec x_{\text{K}}(t)&=\RVEKTOR{r}{9500}{1000}{1600}\text{m}+
(t-39\,\text{s})\RVEKTOR{r}{-100}{-200}{120}\RFRAC{m}{s}   
\end{align*}
Der Airbus ist zur Zeit $t_{\text{A}}=50\,$s, der Jet zur Zeit
$t_{\text{K}}=59\,$s am Ort S.
\item Die Entfernung der beiden Flugzeuge zur Zeit $t$ bezeichnen wir
mit $s(t)$. Der Einfachheit halber rechnen wir ohne Einheiten:
\begin{align*}
 f(t)&=s(t)^{2}=\left[\vec x_{\text{A}}(t)-\vec x_{\text{K}}(t)\right]^{2}=
\RVEKTOR{c}{50t-3400}{100t-6800}{6080-100t}^{2}=\\
 &=22\,500t^{2}-2\,916\,000t+94\,766\,400
\end{align*}
$s(t)$ ist minimal, wenn $f(t)$ minimal ist:
\[f'(t)=45\,000t-2\,916\,000=0\QDQ t=64{,}8\]
\[s(64{,}8)=\sqrt{22\,500\cdot 64{,}8^{2}-2\,916\,000\cdot 64{,}8+94\,766\,400}=
\sqrt{288\,000}\approx 537\]
Die minimale Entfernung zur Zeit $64{,}8\,$s ist also 537\,m.
\end{enumerate}
}
