\ANG{
Wird ein K"orper unter dem Einfluss der konstanten Kraft $F$ parallel zur
Kraftrichtung um die Strecke $\Delta x$ verschoben, dann wird die Arbeit 
$\Delta W=F\cdot\Delta x$ verrichtet. 
F"ur eine konstante Kraft gilt also
\[\frac{\Delta W}{\Delta x}=F\,.\]
Ist $F$ nicht konstant sondern eine Funktion von $x$, dann gilt diese
Beziehung nur noch im Grenzfall $\Delta x\to 0$:
\[\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta W}{\Delta x}=\frac{\RMd W}{\RMd x}=W'(x)=F\] 
Bei bekannter Kraftfunktion $F(x)$ ist also die Arbeit, um den K"orper von
$x_{1}$ nach $x_{2}$ zu bringen:
\[\Delta W=\int\limits_{x_{1}}^{x_{2}}F(x)\,\RMd x\]
\begin{enumerate}
\item $x$ bezeichne die Dehnung einer Feder mit der Federkonstanten
  $D$. Berechne die Arbeit $\Delta W$, um die Dehnung der Feder von $x_{1}$
  auf $x_{2}$ zu erh"ohen.
\item F"ur ein Gummiseil gilt im $x$-Intervall $[0;1{,}2\,\text{m}]$ der
  Kraft-Weg-Zusammenhang 
\[F(x)=Dx+Cx^{20}\quad\text{mit}\quad D=50\,\RFRAC{N}{m}
\quad\text{und}\quad C=105\,\RFRAC{N}{m^{20}}.\]
 Zeichne den Grafen von $F$ im Intervall $[0;1{,}0\,\text{m}]$. 
Berechne die Arbeit $W(x)$, um das Gummiband von null bis $x$ zu dehnen.
Berechne speziell $W(1{,}0\,\text{m})$ und $W(1{,}2\,\text{m})$.
\item Die Gravitationskraft auf einen K"orper der Masse $m$ in der Entfernung
  $r$ zum Erdmittelpunkt ist f"ur $r\geqq R$ ($R=6380\,\text{km}$ ist der
  Erdradius)
\[F(r)=\frac{GMm}{r^{2}}\quad\]
mit $G=6{,}67\cdot 10^{-11}\,\RFRAC{m^{3}}{kg\,s^{2}}$ (Gravitationskonstante)
und $M=5{,}97\cdot 10^{24}\,\text{kg}$ (Erdmasse).
Berechne die Arbeit $W(r)$, um die Masse $m$ von der Erdoberfl"ache bis in die
Entfernung $r$ vom Erdmittelpunkt zu bef"ordern. Wie gro"s ist $W(r)$ f"ur
$r\to\infty$? Mit welcher Mindestgeschwindigkeit $v_{0}$ m"usste man einen K"orper an
der Erdoberfl"ache senkrecht nach oben abschie"sen (keine Luftreibung), damit
er die Erde endg"ultig verlassen kann?
\end{enumerate} 
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D F(x)=Dx\QDQ \Delta W=D\int\limits_{x_{1}}^{x_{2}}x\,\RMd x=
  \frac{D}{2}\left(x_{2}^{2}-x_{1}^{2}\right)$
\item \EPSR{10cm}{12rr0041}{4cm}{}{
\PSFM{0}{0} \PSFM{1}{1} \PSFM{100}{100} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{F}{$F$}  
}{
\begin{align*} 
W(x) &= \int\limits_{0}^{x}F(\tilde{x})\,\RMd\tilde{x}=
\int\limits_{0}^{x}(D\tilde{x}+C\tilde{x}^{20})\,\RMd\tilde{x}=\\
  &=\biggl[\frac{D}{2}\tilde{x}^{2}+\frac{C}{21}\tilde{x}^{21}\biggl]_{0}^{x}=
    \frac{D}{2}x^{2}+\frac{C}{21}x^{21}=\\
  &= 25\,\RFRAC{N}{m}\cdot x^{2}+5\,\RFRAC{N}{m^{20}}\cdot x^{21}
\end{align*}
$\D W(1\,\text{m})=30\,\text{J},\quad W(1{,}2\,\text{m})=260\,\text{J}$
}
\item\mbox{}
\vspace{-10mm}
\begin{align*}
W(r) &= \int\limits_{R}^{r}F(x)\,\RMd x=
   \int\limits_{R}^{r}\frac{GMm}{x^{2}}\,\RMd x=
  GMm\int\limits_{R}^{r}\frac{\RMd x}{x^{2}}=\\
 &=GMm\biggl[-\frac{1}{x}\biggl]_{R}^{r}=GMm\left(\frac 1R-\frac 1r\right)
\end{align*}
\[\lim_{r\to\infty}W(r)=\frac{GMm}{R}\]
\[\frac{m}{2}v_{0}^{2}=\frac{GMm}{R}\QDQ v_{0}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=11{,}2\,\RFRAC{km}{s}\]
\end{enumerate}
}
