\ANG{
$x(t)$ ist der Ort eines K"orpers zur Zeit $t$. Seine Geschwindigkeit ist definiert
durch $v(t)=\dot{x}(t)=\frac{\RMd x}{\RMd t}$ und seine Beschleunigung durch
$a(t)=\dot{v}(t)=\frac{\RMd v}{\RMd t}$. 
\begin{enumerate}
\item Die Beschleunigung $a$ ist eine bekannte Funktion von $t$. Dr"ucke $v(t)$ und
  $x(t)$ durch Integralfunktionen mit der unteren Grenze $t_{0}$ aus.
\item $a$ ist jetzt konstant. Dr"ucke $v(t)$ und $x(t)$ durch die Anfangswerte
  $v_{0}=v(t_{0})$ und $x_{0}=x(t_{0})$ aus.
\item Die Masse eines Lastwagens, der stetig Sand verliert, ist 
  $m(t)=m_{0}-\alpha t$ f"ur $0\leqq t\leqq t_{1}$ mit
  $m(t_{1})=\frac{m_{0}}{2}$. F"ur $0\leqq t\leqq t_{1}$ wirkt die konstante
  Antriebskraft $F$ auf den LKW. Berechne $v(t)$ und $x(t)$.

  Zeichne f"ur $F=10^{4}\,\text{N}$, $\alpha=100\,\RFRAC{kg}{s}$, $v(0)=0$, $x(0)=0$ und 
  $m_{0}=10^{4}\,\text{kg}$ die Grafen von $v$ und $x$ im Intervall  $0\leqq t\leqq
  t_{1}$. Zeichne zum Vergleich die Grafen der Geschwindigkeit und des Ortes eines
  gleichartigen LKWs, der keinen Sand verliert. 
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D v(t)=v(t_0)+\intop_{t_0}^t a(\tau)\,\RMd\tau,\qquad
x(t)=x(t_0)+\intop_{t_0}^t v(\tau)\,\RMd\tau$
\item $\D v(t)=v(t_0)+\intop_{t_0}^t a\,\RMd\tau=v_0+a(t-t_0)$
\begin{align*}
x(t) &= x(t_0)+\intop_{t_0}^t \left[v_0+a(t-t_0)\right]\,\RMd\tau=
  x_0+\left[v_0\tau+\frac a2(\tau-t_0)^2\right]_{t_0}^t=\\ 
&= x_0+v_0(t-t_0)+\frac a2(t-t_0)^2
\end{align*}
\item Aus $\D m_0-\alpha t_1=\frac{m_0}2$ folgt $\D t_1=\frac{m_0}{2\alpha}$.
\[\dot v(t)=a(t)=\frac{F}{m(t)}=\frac{F}{m_0-\alpha t}\]
\begin{align*}
v(t) &= v_0+\intop_{0}^t a(\tau)\,\RMd\tau=
           v_0+F\intop_{0}^t \frac{\RMd \tau}{m_0-\alpha \tau}=\\
  &=v_0+F\left[\frac{1}{-\alpha}\left(\ln|m_0-\alpha\tau|\right)\right]_0^t=
  v_0-\frac{F}{\alpha}\left(\ln(m_0-\alpha t)-\ln m_0\right)=\\
  &= v_0-\frac{F}{\alpha}\ln\frac{m_0-\alpha t}{m_0}=
        v_0+\frac{F}{\alpha}\ln\frac{m_0}{m_0-\alpha t}
\end{align*}
\begin{align*}
x(t) &= x_0+\intop_{0}^t v(\tau)\,\RMd\tau=
        x_0+\intop_{0}^t\left(v_0+\frac{F}{\alpha}\ln\frac{m_0}{m_0-\alpha \tau}\right)\,\RMd\tau=\\
  &=x_0+v_0 t-\frac{F}{\alpha}\intop_{0}^t \ln\left(1-\frac{\alpha}{m_0}\,\tau\right)\,\RMd\tau=\\
  &= x_0+v_0 t-\frac{F}{\alpha}\left(-\frac{m_0}{\alpha}\right)\left[
\left(1-\frac{\alpha}{m_0}\,\tau\right)\cdot\left\{ \ln\left(1-\frac{\alpha}{m_0}\,\tau\right)-1\right\}
\right]_0^t=\\
  &=x_0+v_0 t+\frac{Fm_0}{\alpha^2}\left[
\left(1-\frac{\alpha}{m_0}\,t\right)\cdot\left\{ \ln\left(1-\frac{\alpha}{m_0}\,t\right)-1\right\}+1
\right]=\\
  &= x_0+v_0 t+\frac{Fm_0}{\alpha^2}\left[
\left(1-\frac{\alpha t}{m_0}\right)\cdot\ln\left(1-\frac{\alpha t}{m_0}\right)+
\frac{\alpha t}{m_0}
\right]
\end{align*}
F"ur die speziellen Zahlenwerte gilt:
\[
v(t) = -100\RFRAC{m}{s}\ln\left(1-\frac{t}{100\,\text{s}}\right)
\]
und
\[
x(t) = 10^4\,\text{m}\left[\left(1-\frac{t}{100\,\text{s}}\right)
 \ln\left(1-\frac{t}{100\,\text{s}}\right)+\frac{t}{100\,\text{s}}\right]
\]
Mit $t_1=50\,$s folgt $\D v(t_1)=69{,}3\,\RFRAC{m}{s}$ und $x(t_1)=1{,}53\,$km.

Ohne Sandverlust: $\D\overline{v}(t)=\frac{F}{m_0}\,t=1\,\RFRAC{m}{s^2}\cdot t$ und
$\D\overline{x}(t)=\frac{F}{2m_0}\,t^2=0{,}5\,\RFRAC{m}{s^2}\cdot t^2$.

$\D\overline{v}(t_1)=50\,\RFRAC{m}{s}$, 
$\D\overline{x}(t_1)=1{,}25\,$km.

\EPS{12rr0592}{6cm}{}{
\PSFM{t}{\mbox{}\,\,\,\,$\frac{t}{\text{s}}$} \PSFM{y}{$v\cdot\RFRAC{s}{m}$} \PSFM{0}{0} \PSFM{10}{10} 
\PSFM{20}{20} \PSFM{30}{30} \PSFM{40}{40} \PSFM{50}{50} \PSFM{60}{60} 
\PSFM{70}{} 
}\hfill\EPS{12rr0591}{6cm}{}{
\PSFM{t}{\mbox{}\,\,\,\,$\frac{t}{\text{s}}$} \PSFM{y}{$\frac{x}{\text{m}}$} \PSFM{0}{0} \PSFM{10}{10} 
\PSFM{20}{20} \PSFM{30}{30} \PSFM{40}{40} \PSFM{50}{50} \PSFM{60}{60} 
\PSFM{70}{} \PSFM{1200}{1200} \PSFM{1400}{} \PSFM{200}{200} \PSFM{400}{400} 
\PSFM{600}{600} \PSFM{800}{800} \PSFM{1000}{1000} 
}
\end{enumerate}
}
