\ANG{
\EPSR{6.5cm}{11rr026}{7.5cm}{}{
\PSF{fx}{$f(x)=bx^{2}$} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$} \PSFM{a}{$a$} 
\PSFM{fi}{$\varphi$} \PSFM{ta}{$\tau$}\PSFM{ga}{$\gamma$} \PSFM{e}{$e$} 
\PSFM{g}{$g$} \PSFM{A}{A} \PSFM{P}{P} \PSFM{t}{$t$} 
}{
Licht f"allt parallel zur $y$-Achse in einen Parabolspiegel, dessen spiegelnde
Fl"ache durch 
\[ f(x)=bx^2\] 
\parfillskip0pt
beschrieben wird. Wir betrachten einen Lichtstrahl,
der den Spiegel im Punkt $\EPUNKT{A}{a}{f(a)}$ trifft.
Nach dem Reflexionsgesetz schlie"sen der einfallende Strahl $e$ und der
reflektierte Strahl $g$ mit der Tangente $t$ an 
}\\[1mm]
$\text{G}_{f}$ im Punkt A den gleichen Winkel $\varphi$ ein.
Beweisen Sie, dass {\em jeder} zur $y$-Achse parallel einfallende Strahl die
$y$-Achse im selben Punkt $\EPUNKT{P}{0}{p}$ (dem {\em Brennpunkt}) trifft und
berechnen Sie $p$.

Benutzen Sie die trigonometrische Formel:\quad
$\D\tan 2\varphi=\frac{2\,\tan\varphi}{1-\tan^2\varphi}.$
}
\LSG{
$\D\tan\left(90^{\circ}-\alpha\right)=
  -\tan\left(\alpha-90^{\circ}\right)=
-\frac{\sin\left(\alpha-90^{\circ}\right)}{\cos\left(\alpha-90^{\circ}\right)}
=-\frac{-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1}{\tan\alpha}$\\[2mm]
Steigung von $g$:\quad $\D m=\tan\gamma=\tan(90^{\circ}-2\varphi)=
\frac{1}{\tan 2\varphi}=\frac{1-\tan^{2}\varphi}{2\,\tan\varphi}$\\[2mm]
$\D\tan\varphi=\tan\left(90^{\circ}-\tau\right)=
  \frac{1}{\tan\tau}=\frac{1}{f'(a)}=\frac{1}{2ba}
\quad\Longrightarrow\quad m=ba-\frac{1}{4ba}$\\[2mm]
Aus $\D g(x)=m\,x+p$ und $\text{A}\in g$ folgt
\[g(a)=\left(ba-\frac{1}{4ba}\right)a+p=ba^{2}\QDQ
  p=\frac{1}{4b}\]
Da $p$ nicht von $a$ abh"angt, geht jeder zur $y$-Achse parallel einfallende
Strahl durch P.
}



