\ANG{
Zur Messung der elektrischen Stromst"arke verwendet man in der Regel
Drehspulinstrumente. Der Strom flie"st durch eine im Magnetfeld drehbar
aufgeh"angte Spule, die durch die magnetische Wirkung des Stroms ausgelenkt wird.
In einem speziellen Drehspulinstrument kann zwischen zwei Messmethoden
gew"ahlt werden:\\
I: Die St"arke des Magnetfeldes ist konstant und der Strom flie"st nur durch
die drehbare Spule.\\
II: Das Magnetfeld wird durch eine stromdurchflossene Spule erzeugt, die mit
der drehbaren Spule in Serie geschaltet ist.\\

Der Zusammenhang zwischen  Stromst"arke $I$ und Auslenkung $x$ der drehbaren
Spule wird f"ur $x<90^{\circ}$ durch folgende Funktionsgleichung beschrieben:
\\[2mm]
$\D I_{I}(x)=0{,}04\,\frac{x}{\cos(x)}$ bzw.
$\D I_{II}(x)=0{,}2\,\sqrt{\frac{x}{\cos(x)}}$,\ \ \ \
$I$ jeweils in A, $x$ Ma"szahl des Winkels im Gradma"s.

\begin{enumerate}
\item F"ur welche Str"ome ist die Auslenkung mit der ersten Methode gr"o"ser?
\item Welche Str"ome m"ussen jeweils flie"sen, damit man die
Auslenkungswinkel $10^{\circ}$, $20^{\circ}$, $40^{\circ}$, $60^{\circ}$ und $80^{\circ}$ erh"alt?
\item Zeichnen Sie die Funktionen f"ur $x\in [\,0\,;\,90^{\circ}\,[$.
\item Unter der Empfindlichkeit eines Stromst"arkemessger"ates versteht man den
Quotienten $\frac{\Delta x}{\Delta I}$. Erkl"aren Sie, warum diese Definition
sinnvoll ist.\\
Formulieren Sie einen Zusammenhang zwischen der Ableitung $I'(x)$ der Funktion
 und der Empfindlichkeit.
\item Berechnen Sie die Ableitungen der Funktionen und stellen Sie sie mit
einer geeigneten Software graphisch dar. Diskutieren sie folgende Punkte:\\
F"ur welche Auslenkungswinkel bzw.\ Stromst"arken ist die Messanordnung I
empfindlicher?\\
F"ur welchen Auslenkungswinkel bzw.\ f"ur welche Stromst"arke ist die Empfindlichkeit
der Messanordnung II maximal?
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $I_I(x)=I_{II}(x)$ f"ur $I(x)=0$ oder $I(x)=1$. Aus der Berechnung eines
geeigneten Funktionswertes z.\ B.\ $I_I(20^{\circ})=0{,}85<0{,}92=I_{II}(20^{\circ})$ folgt,
dass f"ur $I<1$ die Anordnung $II$ gr"o"sere Ausschl"age liefert.
\item $I_I(0^{\circ})=0$, $I_I(10^{\circ})=0{,}4$, $I_I(20^{\circ})=0{,}85$,
$I_I(40^{\circ})=2{,}1$,
$I_I(60^{\circ})=4{,}8$, $I_I(80^{\circ})=18{,}40$\\
$I_{II}(0^{\circ})=0$, $I_{II}(10^{\circ})=0{,}6$, $I_{II}(20^{\circ})=0{,}92$,
$I_I(40^{\circ})=1{,}4$,
$I_I(60^{\circ})=2{,}2$, $I_I(80^{\circ})=4{,}3$
\item
\item Gro"se Empfindlichkeit bedeutet gro"ses $\Delta x$ f"ur ein fest
vorgegebenes $\Delta I$. Empfindlichkeit=$\frac{1}{I(x)'}$
\item $$I_I'(x)=0{,}04\frac{\cos x+x\sin x}{\cos^2x}$$
 $$I_{II}'(x)=0{,}1\sqrt{\frac{\cos x}{x}}\ \frac{\cos x+x\sin x}{\cos^2x}$$
\end{enumerate}
}


