\ANG{
Reale Gase lassen sich durch die Van-der-Waals-Gleichung
$(p+\frac{a}{V^2})(V-b)=RT$ beschreiben. Dabei ist $p$ der Druck, $V$ das
Volumen pro $kmol$ ($6{,}022\cdot 10^{26}$ Teilchen) und $T$ die Temperatur
des Gases. $a$ und $b$ sind Materialkonstanten des Gases und $R$ ist die
allgemeine Gaskonstante ($8{,}3144\cdot 10^3 \frac{\rm J}{\rm K kmol}$).
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass die Van-der-Waals-Gleichung f"ur gro"se Volumina
(d.\ h.\ $V\gg a,b$) in die bekannte Zustandsgleichung idealer Gase
$\frac{p\cdot V}{T}={\rm const}$ "ubergeht.
\item L"osen Sie die Van-der Waals-Gleichung nach $p$ auf.
\item F"ur Temperaturen oberhalb eines kritischen Wertes $T_k$ lassen sich
Gase auch bei sehr hohem Druck nicht mehr verfl"ussigen. F"ur diese Temperatur
hat die Funktion $p(V)$ genau einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.\\
Bestimmen Sie $V_k$, $T_k$ und $p_k$ allgemein aus der
Van-der-Waals-Gleichung.
\item Berechnen Sie $V_k$, $T_k$ und $p_k$ f"ur Sauerstoff
($a=137\cdot 10^3\frac{{\rm Nm}^4}{{\rm kmol}^2}$, $b=0{,}0316\frac{{\rm m}^3}{\rm kmol}$).
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $V\gg a,b \Rightarrow \frac{a}{V^2}\approx 0, V-b\approx V$\\
Also $pV\approx TR$.
\item $p(V)=\frac{RT}{V-b}-\frac{a}{V^2}$
\item Bedingung I: $\frac{{\rm d}p}{{\rm d}V}=-\frac{RT}{(V-b)^2}+\frac{2a}{V^3}=0$\\
Bedingung II: $\frac{{\rm d}^2p}{{\rm d}V^2}=\frac{2RT}{(V-b)^3}-\frac{6a}{V^4}=0$\\
I in II einsetzen liefert $V_k=3b$.\\
$V_k=3b$ in I einsetzen liefert $T_k=\frac{8a}{27bR}$.\\
$T_k=\frac{8a}{27bR}$ in $p(V)$ einsetzen liefert $p_k=\frac{a}{27b^2}$.
\item $T_{k, {\rm Sauerstoff}}=154{,}5\,{\rm K}$,
$p_{k, {\rm Sauerstoff}}=5{,}08 {\rm MPa}$,\\
$V_{k, {\rm Sauerstoff}}=0{,}0948\,\frac{m^3}{kmol}$
\end{enumerate}
}
