\ANG{
Ein Zug bewegt sich im Zeitintervall $[\,0\,{\rm h}\,,4\,{\rm h}\,]$ nach dem
Zeit-Weg-Gesetz
\[ x(t)=10\,\RFRAC{km}{h^4}\cdot t^4-80\,\RFRAC{km}{h^3}\cdot t^3+
160\,\RFRAC{km}{h^2}\cdot t^2\]
Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Geschwindigkeit $v(t)$!
Zeichnen Sie die Graphen von $x(t)$ und $v(t)$!\\
Berechnen Sie die maximale Entfernung des Zuges vom Ausgangspunkt sowie seine
maximale Geschwindigkeit.
}
\LSG{
$ v(t)=\dot{x}(t)=40\,\RFRAC{km}{h^{4}}\cdot t^{3}-
240\,\RFRAC{km}{h^{3}}\cdot t^{2} +320\,\RFRAC{km}{h^{2}}\cdot t$\\[2mm]
$ a(t)=\dot{v}(t)=120\,\RFRAC{km}{h^{4}}\cdot t^{2}-
480\,\RFRAC{km}{h^{3}}\cdot t +320\,\RFRAC{km}{h^{2}}$\\[2mm]
Nullstellen von $x$:\quad $t_{01}=0$, $t_{02}=4\,{\rm h}$\\[2mm]
Nullstellen von $v$:\quad $t_{11}=0$, $t_{12}=2\,{\rm h}$, 
$t_{13}=4\,{\rm h}$\\[2mm]
Nullstellen von $a$:\quad 
$t_{21}=\left(2+\frac{2}{3}\sqrt{3}\right)\,{\rm h}$, 
$t_{22}=\left(2-\frac{2}{3}\sqrt{3}\right)\,{\rm h}$\\[2mm]
$x_{\rm max}=x(2\,{\rm h})=160\,{\rm km}$, 
$v_{\rm max}=v(t_{{21}})=\frac{640}{9}\sqrt{3}\,\RFRAC{km}{h}\approx
123\,\RFRAC{km}{h}$
}