\ANG{
Die Schwingung einer Masse $m$ an einer Feder mit der Federh"arte $D$ und der
D"ampfungszahl $k$ wird durch die Gleichung
$m\cdot\ddot s(t)+k\cdot\dot s(t)+D\cdot s(t)=0$ beschrieben. Zeigen Sie durch
Ableiten und Einsetzen, dass die Funktion$$s=s_0\ e^{-\frac{k}{2m}t}\cdot\sin(\omega t)\ \ \ \mbox{mit}\
\omega=\sqrt{\frac{D}{m}-\left(\frac{k}{2m}\right)^2}$$
eine L"osung der Schwingungsgleichung ist:

Bemerkung zur Schreibweise: Mit $\dot s(t)$ und $\ddot s(t)$ ist die erste und
die zweite Ableitung von $s(t)$ nach der Zeit gemeint!

}
\LSG{
$$\dot s(t)=-\frac{k}{2m}s(t)+s_0\omega e^{-\frac{k}{2m}t}\cdot\cos(\omega t)$$
$$\ddot s(t)=\left(\frac{k}{2m}\right)^2 s_0\ e^{-\frac{k}{2m}t}\cdot\sin(\omega t)
-2\frac{k}{2m}\omega s_0\ e^{-\frac{k}{2m}t}\cdot\cos(\omega t)
-\omega^2 s_0\ e^{-\frac{k}{2m}t}\cdot\sin(\omega t)$$
Einsetzen liefert:
$$s_0\ e^{-\frac{k}{2m}t}\cdot\sin(\omega t)\cdot m\cdot
\left(\frac{D}{m}-\left(\frac{k}{2m}\right)^2-\omega^2\right)=0 $$
}

