\ANG{
Viele Gr"o"sen in Naturwissenschaft und Technik sind zueinander
direkt proportional. Stellt man den Zusammenhang zweier solcher
Gr"o"sen graphisch dar, erh"alt man eine Ursprungsgerade.\\
Bei Experimenten treten aber immer Messfehler auf, so dass die Messwerte
$(a_i|b_i)$ in der Regel nicht exakt auf einer Gerade liegen.
C. F. Gau"s hat nun vorgeschlagen die Steigung einer Ausgleichsgerade
$f(x)=mx$ so zu w"ahlen, dass die Summe der Fehlerquadrate $(f(a_i)-b_i)^2$
minimal wird.
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie f"ur folgende Messwerte die Summe der Fehlerquadrate
$S(m)$ und bestimmen Sie die Steigung der Ausgleichsgerade.
\begin{enumerate}
\item $(50|30)$, $(100|55)$, $(150|95)$
\item $(20|40)$, $(40|75)$, $(60|115)$
\item $(10|30)$, $(30|86)$, $(50|140)$, $(70|205)$
\item $(5|1{,}5)$, $(10|3{,}2)$, $(15|4{,}3)$, $(20|5{,}9)$
\end{enumerate}
\item Zeigen Sie allgemein, dass die Summe der Fehlerquadrate in der
Form $S(m)=pm^2-2qm+r$ geschrieben werden kann.
\item Geben Sie an, wie $p, q$ und $r$ aus den Messwerten berechnet werden.
\item Geben Sie allgemein die Steigung $m$ der Ausgleichsgerade an.
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $S(m)=35000\ m^2-2m\cdot 21250+12950\Rightarrow m=0{,}607$
\item $S(m)=5600\ m^2-2m\cdot 10700+20450\Rightarrow m=1{,}91$
\item $S(m)=8400\ m^2-2m\cdot 24230+69921\Rightarrow m=2{,}88$
\item $S(m)=750\ m^2-2m\cdot 222+65{,}79\Rightarrow m=0{,}296$
\end{enumerate}
\item\begin{eqnarray}S(m)&=&(ma_1-b_1)^2+(ma_2-b_2)^2+(ma_3-b_3)^2+...+(ma_n-b_n)^2\nonumber\\
&=&(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2)\cdot m^2\nonumber\\
&&-2\cdot (a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+...+a_nb_n)\cdot m\nonumber\\
&&+(b_1^2+b_2^2+b_3^2+...+b_n^2)\nonumber
\end{eqnarray}
\item $p=a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2$, $q=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+...+a_nb_n$
und $r=b_1^2+b_2^2+b_3^2+...+b_n^2$.
\item $m=\frac qp$
\end{enumerate}

}
