\ANG{
{\bf Stauentwicklung}\\
Ein einfaches Modell zur Untersuchung der Stauentwicklung erh"alt man, indem man
annimmt, dass alle Autos mit gleicher konstanter Geschwindigkeit $v$ und
gleichem Sicherheitsabstand $s(v)$ fahren. Zus"atzlich sollen alle Autos die
gleiche L"ange $l=5 \rm m$ haben.
\begin{enumerate}
\item Geben Sie einen Term $n(v)$ zur Berechnung der Anzahl der Autos an,
die eine Beobachtungsstelle in einer Stunde passieren.

\item Der Sicherheitsabstand $s(v)$ sollte mindestens so gro"s sein, wie
der Anhalteweg $s_A(v)$ eines Autos. Dieser l"asst sich nach der Formel
$$s_A(v)= v\cdot 1\ {\rm s}+\frac 1{2b}\,v^2$$
berechnen. Dabei ist $v$ die Anfangsgeschwindigkeit in $\RFRAC{km}{h}$ und $b$
die Beschleunigung in $\RFRAC{m}{s^2}$.\\

Berechnen Sie den Anhalteweg $s(v)$ eines Autos mit der Anfangsgeschwindigkeit
$30\,\RFRAC{km}{h}$, $50\,\RFRAC{km}{h}$, $80\,\RFRAC{km}{h}$ und 
$100\,\RFRAC{km}{h}$
\begin{enumerate}
\item f"ur trockene ($b=7\,\RFRAC{m}{s^2}$) Stra"se.
\item f"ur nasse ($b=3\,\RFRAC{m}{s^2}$) Stra"se.
\end{enumerate}

\item Berechnen Sie $n(v)$ f"ur die Geschwindigkeit
$30\,\RFRAC{km}{h}$, $50\,\frac{km}{h}$, $80\,\RFRAC{km}{h}$ und 
$100\,\RFRAC{km}{h}$.
Der Sicherheitsabstand soll gleich dem Anhalteweg sein.
\begin{enumerate}
\item f"ur trockene ($b=7\,\RFRAC{m}{s^2}$) Stra"se.
\item f"ur nasse ($b=3\,\RFRAC{m}{s^2}$) Stra"se.
\end{enumerate}
Wie ver"andert sich $n(v)$ bei zunehmender Geschwindigkeit?

\item Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von $n(v)$.\\
Bei welcher Geschwindigkeit ist $n(v)$  f"ur trockene bzw. nasse Stra"sse maximal?

\item Diskutieren Sie das Ergebnis aus Teilaufgabe (d).
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D n(v)=\frac{v\cdot 1\,{\rm h}}{l+s(v)}$
\item \begin{tabular}[t]{|c|c|c|c|c|}\hline
&$30\ \RFRAC{km}{h}$&$50\ \RFRAC{km}{h}$&$80\ \RFRAC{km}{h}$&$100\ \RFRAC{km}{h}$\\ \hline
trocken&13{,}3\ {\rm m}&27{,}7\ {\rm m}&57{,}5\ {\rm m}&82{,}9\ {\rm m}\\ \hline
nass&19{,}9\ {\rm m}&46{,}0\ {\rm m}&104{,}5\ {\rm m}&156{,}4\\ \hline
\end{tabular}
\item \begin{tabular}[t]{|c|c|c|c|c|}\hline
&$30\ \RFRAC{km}{h}$&$50\ \RFRAC{km}{h}$&$80\ \RFRAC{km}{h}$&$100\ \RFRAC{km}{h}$\\ \hline
trocken&1640&1531&1280&1138\\ \hline
nass&1204&980&730&620\\ \hline
\end{tabular}\\[1mm]
Mit zunehmender Geschwindigkeit nimmt die Anzahl der passierenden Autos ab!
\item $\D n(v)=\frac {v\cdot 1\,{\rm h}}{5+v+\frac 1{2b}v^2}\Rightarrow$
$\D n'(x)=\frac{(5-\frac 1{2b}v^2)\cdot 1\,{\rm h}}{(5+v+\frac 1{2b}v^2)^2}=0\,\Leftrightarrow\,
v=\pm\sqrt{10b}$\\[1mm]
Negative L"osung nicht sinnvoll! $\Rightarrow$\\
trockene Stra"sse: $n(v)$ maximal f"ur $v=8{,}4\frac{\rm m}{\rm s}=30{,}1\frac{\rm km}{\rm h}$\\
nasse Stra"sse: $n(v)$ maximal f"ur $v=5{,}5\frac{\rm m}{\rm s}=19{,}7\frac{\rm km}{\rm h}$\\
$n(v)$ ist f"ur $v<n_{\rm max}$ streng monoton steigend und f"ur
f"ur $v>n_{\rm max}$ streng monoton fallend.

\item  Das Maximum von $n(v)$ liegt bei erstaunlich niedrigen Geschwindigkeiten.
Geschwindigkeitsbegrenzungen sind bei hohem Verkehrsaufkommen sinnvoll. Sie
verbessern den Verkehrsfluss ($n(v)$ wird gr"o"ser!).\\
$n(v)$ wird auch dann gr"o"ser, wenn der Sicherheitsabstand $s(v)$ verringert
wird. Dies ist jedoch nicht anzustreben, da dadurch das Unfallrisiko steigt.
\end{enumerate}
}
