\ANG{
Berechnen Sie f"ur folgende Funktionen die Ortskurve der Extrema.
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^3+x^2+kx$
\item $f(x)=x^3+kx^2+x$
\item $f(x)=kx^3+x^2+x$
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Extrema bei $ x_E=-\frac{1\pm\sqrt{1-3k}}{3}\Rightarrow$\\
$ k=-3x^2-2x\Rightarrow$ $f(x_E)=x^3+x^2+(-3x^2-2x)\cdot x=-2x^3-x^2$
\item Extrema bei $ x_E=-\frac{k\pm\sqrt{k^2-3}}{3}\Rightarrow$\\
$ k=-\frac {1}{2x}-\frac 32x\Rightarrow$ $f(x_E)=x^3+(-\frac {1}{2x}-\frac 32x)\cdot x^2+x=-\frac 12(x^3-x)$
\item Extrema bei $ x_E=-\frac{1}{3k}(1\pm\sqrt{1-3k})\Rightarrow$\\
$ k=-\frac{2x+1}{3x^2}\Rightarrow$ $f(x_E)=(-\frac{2x+1}{3x^2})x^3+ x^2+x=
\frac 13x^2+\frac 23x$
\end{enumerate}
}
