\ANG{
Wir betrachten die Funktionenschar $f_{a}$ mit
\[f_{a}(x)=\frac{ax+2}{2\e^{x}},\quad
  \DD_{f_{a}}=\RR\text{ und }a\in\RR\OHNE\{0\}.\]
\begin{enumerate}
\item Bestimme in Anh"angigkeit des Scharparameters $a$ die Nullstellen von
  $f_{a}$ und das Verhalten von $f_{a}$ f"ur $x\to\pm\infty$.
\item Zeige, dass alle Grafen der Funktionenschar genau einen Punkt gemeinsam
  haben und gib seine Koordinaten an.
\item Bestimme die Koordinaten der lokalen Extrema und der Wendepunkte der Funktionenschar in
  Abh"ang\-igkeit von $a$.
\item Zeichne die Grafen der Funktionen $f_{0{,}5}$, $f_{2}$, $f_{20}$ und 
$f_{-4}$ in ein geeignetes Koordinatensystem. Stelle vorher die Nullstellen
und die Koordinaten der Extremwerte und Wendepunkte in einer Tabelle zusammen.
\item Unter welchem spitzen Winkel $\alpha$ schneiden sich die Grafen der
  beiden Funktionen $f_{0{,}5}$ und $f_{20}$?
\item Auf welcher Kurve $y=g(x)$ liegen die Extremwerte der Scharfunktionen?
  Zeichne sie in das schon bestehende Koordinatensystem ein.
\item Auf welcher Kurve $y=h(x)$ liegen die Wendepunkte der Scharfunktionen?
  Zeichne sie in das schon bestehende Koordinatensystem ein.
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Nullstellen: $\D x_{a0}=-\frac 2a$\\[2mm]
$\D\lim_{x\to-\infty}f(x)=\left(\frac{-\sgn(a)\cdot\infty}{0^+}\right)=
-\sgn(a)\cdot\infty$\\[2mm]
$\D\lim_{x\to+\infty}f(x)=\left(\frac{\sgn(a)\cdot\infty}{+\infty}\right)=
\lim_{x\to+\infty}\frac{a}{2\e^x}=\left(\frac{a}{+\infty}\right)=0^\pm$\\[2mm]
\item $\D f_a(x)=f_b(x)\QDQ ax=bx\QDQ (a-b)x=0\QDQ x=0\,\,(a\neq b)$\\[2mm]
Der gemeinsame Punkt aller Grafen ist also $(0|1)$.
\item $\D f'_a(x)=\frac{-ax+a-2}{2\e^x}$,\qquad
$\D f''_a(x)=\frac{ax-2a+2}{2\e^x}$,\qquad
$\D f'''_a(x)=\frac{-ax+3a-2}{2\e^x}$\\[2mm]
$\D f'_a(x)=0\QDQ x_{a1}=\frac{a-2}{a}=1-\frac 2a$,\quad
$\D f''_a(x_{a1})=-\frac{a}{2}\e^{\frac{2-a}{a}}$,\quad
$\D f_a(x_{a1})=\frac{a}{2}\e^{\frac{2-a}{a}}$\\[2mm]
$\D a>0\QDQ f''_a(x_{a1})<0\QDQ$Hochpunkt bei 
$\EPUNKT{H}{\frac{a-2}{a}}{\frac{a}{2}\e^{\frac{2-a}{a}}}$\\[2mm]
$\D a<0\QDQ f''_a(x_{a1})>0\QDQ$Tiefpunkt bei 
$\EPUNKT{H}{\frac{a-2}{a}}{\frac{a}{2}\e^{\frac{2-a}{a}}}$\\[2mm]
$\D f''_a(x)=0\QDQ x_{a2}=\frac{2a-2}{a}=2-\frac 2a$,\quad
$\D f'''_a(x_{a2})=\frac{a}{2}\e^{\frac{2-2a}{a}}\neq 0\QDQ$\\[2mm]
Wendepunkt bei $\EPUNKT{W}{\frac{2a-2}{a}}{a\e^{\frac{2-2a}{a}}}$
\item\mbox{}
\vspace{-5mm}

\[\begin{array}{c|c|c|c|c}
a & 0{,}5 & 2 & 20 & -4 \\\hline
x_{a0} & -4 & -1 & -0{,}1 & 0{,}5 \\\hline
x_{a1} & -3 & 0 & 0{,}9 & 1{,}5 \\\hline
f(x_{a1}) & \D\frac{\e^3}{4}\approx 5{,}02 & 1 & \D\frac{10}{\e^{0{,}9}}\approx 4{,}07 & 
\D-\frac{2}{\e^{1{,}5}}\approx -0{,}446  \\\hline
x_{a2} & -2 & 1 & 1{,}9 & 2{,}5 \\\hline
f(x_{a2}) & \D\frac{\e^2}{2}\approx 3{,}69 & \frac {2}{\e}\approx 0{,}74 & \D\frac{20}{\e^{1{,}9}}\approx 2{,}99 & 
\D-\frac{4}{\e^{2{,}5}}\approx -0{,}328  
\end{array}\]
\EPSC{12rr1071}{12cm}{}{
\PSFM{-4}{$-4$} \PSFM{-3}{$-3$} \PSFM{-2}{$-2$} \PSFM{-1}{$-1$} \PSFM{-5}{$-5$} 
\PSFM{0}{0} \PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} \PSFM{4}{4} \PSFM{5}{5} 
\PSFM{6}{6} \PSFM{7}{7}\PSFM{8}{8} \PSFM{9}{9} \PSFM{10}{10}  
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$}  \PSFM{f05}{$f_{\frac 12}$} \PSFM{f2}{$f_2$}  
\PSFM{f20}{$f_{20}$} \PSFM{fm4}{$f_{-4}$}   \PSFM{g}{$g$} \PSFM{h}{$h$}
}
\item $f_{0{,}5}'(0)=-0{,}75=\tan\alpha\QDQ\alpha=-36{,}87^\circ$\\[2mm]
$f_{20}'(0)=9=\tan\beta\QDQ\beta=83{,}66^\circ$\\[2mm]
Schnittwinkel: $\varphi=180^\circ-(\beta+|\alpha|)=59{,}47^\circ$
\item $\D x_1=1-\frac 2a\QDQ \frac a2=\frac{1}{1-x_1}\QDQ
y_1=\frac{a}{2}\e^{\frac{2-a}{a}}=\frac{\e^{-x_1}}{1-x_1}\quad\DANN$
\[g(x)=\frac{\e^{-x}}{1-x}\]
\item $\D f''_a(x)=0\QDQ x_{2}=\frac{2a-2}{a}$, $\D y_2=f(x_{2})=a\e^{\frac{2-2a}{a}}=
\frac{2}{2-x_{2}}\e^{-x_{2}}$
\[h(x)=\frac{2\e^{-x}}{2-x}\]
\end{enumerate}
}
