\ANG{
Der Preis einer Ware reguliert in einer Marktwirtschaft die Nachfrage.
Steigt der Preis, so geht die Nachfrage zur"uck.\\
F"ur den Anbieter ist es wichtig zu wissen, wie stark oder schwach die
Nachfrage $x$ auf eine Preis"anderung reagiert. Die Funktion $n(x)$ gibt
den Nachfragepreis an, den der K"aufer bereit ist zu zahlen.

\begin{enumerate}
\item Bei welchen G"utern ist eine starke bzw.\ schwache Ver"anderung der
Nachfrage bei einem ver"andertem Preis zu erwarten?
\item Um die St"arke dieser Reaktion auszudr"ucken f"uhrt man den
Elastizit"atskoeffizienten $\varepsilon (x)$ einer Funktion ein.
Er gibt die relative "Anderung der Nachfrage $x$ pro relativer
"Anderung des Nachfragepreises $n(x)$ an.\\
Begr"unden Sie, warum es nicht sinnvoll ist die absolute "Anderung des
Arguments pro alsoluter "Anderung des Funktionswertes anzugeben.
\item Dr"ucken Sie $\varepsilon (x)$ der Nachfragefunktion $n(x)$ durch $x$,
$n(x)$ und $n'(x)$ aus.
\item Berechnen Sie die Elastizit"at folgender Nachfragefunktionen.
\begin{enumerate}
\item $n(x)=100-7x$.
\item $n(x)=200-23x$.
\item $n(x)=200-5x^2$.
\item $n(x)=970-13x^2$.
\item $n(x)=\frac{400}{x}+200$.
\item $n(x)=\frac{5000}{x}-130$.
\end{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass der Umsatz $U(x)=x\cdot n(x)$ bei fallendem Preis 
steigt, wenn die Elastizit"at $\varepsilon$ der Nachfragefunktion kleiner als 
$-1$ ist.
"Uberlegen Sie dazu, wie sich ein fallender Preis auf die Nachfrage
$x$ auswirkt.
\item Wie kann der Umsatz erh"oht werden, wenn die Elastizit"at $\varepsilon$ 
  der Nachfragefunktion gr"o"ser als $-1$ ist? Begr"unden Sie Ihre Antwort.
\item Geben Sie f"ur die Nachfragefunktionen aus Teilaufgabe (d) die Bereiche an,
in denen der Umsatz durch Preissteigerung- bzw.\ Preissenkung erh"oht werden
kann.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Bei lebensnotwendigen G"utern wird sich die Nachfrage weniger
ver"andern, als bei Luxusg"utern.
\item Betrachtet man z.\ B.\ die Nachfragefunktion einer Ware, ist klar, dass
eine Preis"anderung von 5 DM bei einem Auto eine andere Bedeutung hat, als bei
einem kg Butter. Im Vergleich zum Preis eines Autos sind 5 \EUR{} zu vernachl"assigen
und damit hat die Preis"anderung praktisch keine Auswirkung. Bei einem kg Butter
hingegen haben 5 \EUR{} eine Bedeutung. Damit ist es nicht sinnvoll die Auswirkung
als Preis"anderung pro "Anderung der Nachfrage anzugeben, sondern zu relativen
Gr"o"sen "uberzugehen.
\item $$\varepsilon (x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}
\frac{\frac{\Delta x}{x}}{\frac{n(x+\Delta x)-n(x)}{n(x)}}=
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{n(x)}{x\frac{n(x+\Delta x)-n(x)}{\Delta x}}=
\frac{n(x)}{x\,n'(x)}$$
\item
\begin{enumerate}
\item $\varepsilon (x)=1-\frac{100}{7x}$
\item $\varepsilon (x)=1-\frac{200}{23x}$
\item $\varepsilon (x)=\frac12-\frac{20}{x^2}$
\item $\varepsilon (x)=\frac12-\frac{485}{13x^2}$
\item $\varepsilon (x)=-1-\frac12x$
\item $\varepsilon (x)=-1+\frac{13}{500}x$
\end{enumerate}
\item Preis f"allt $\Rightarrow$ Nachfrage $x$ steigt.\\
$U'(x)=n(x)+xn'(x)>0\Leftrightarrow \varepsilon(x)=\frac{n(x)}{xn'(x)}<-1$,
da $n'(x)<0$ und $x>0$!
\item $\varepsilon (x)>-1\Leftrightarrow \frac{n(x)}{xn'(x)}>-1\Leftrightarrow$
$n(x)<-xn'(x)$, da $n'(x)<0\Leftrightarrow U'(x)=n(x)-xn'(x)<0.$
Also ist $U(x)$ monoton fallend. Eine Preiserh"ohung reduziert die
Nachfrage $x$ und erh"oht
damit den Umsatz.
\item
\begin{tabular}[t]{|l|c|c|}\hline
&Preiserh"ohung&Preissenkung\\
&$\varepsilon >-1$&$\varepsilon <-1$\\ \hline
i&$]7\frac17;\infty[$&$]0;7\frac17[$\\ \hline
ii&$]4\frac8{23};\infty[$&$]0;4\frac8{23}[$\\ \hline
iii&$]\sqrt{13\frac13};\infty[$&$]0;\sqrt{13\frac13}[$\\ \hline
iv&$]\sqrt{\frac{970}{39}};\infty[$&$]0;\sqrt{\frac{970}{39}}[$\\ \hline
v&-&$\RR^+$\\ \hline
vi&$\RR^+$&-\\ \hline
\end{tabular}
\end{enumerate}
}
