\ANG{
Die Produktionskosten $K(x)$ und der Umsatz $U(x)=x\cdot n(x)$ eines Unternehmens
h"angen von der Nachfrage $x$ auf dem Markt ab. $n(x)$ ist der Nachfragepreis 
einer Ware.
\begin{enumerate}
\item Leiten Sie eine Gleichung zur Berechnung des maximal m"oglichen Gewinns 
her. Deuten Sie das Ergebnis geometrisch.
\item Berechnen Sie f"ur folgende F"alle den maximal m"oglichen Gewinn. Geben Sie
jeweils den Preis der Ware im Gewinnmaximum an.
\begin{enumerate}
\item $n(x)=500+\frac{120}x,\ \ K(x)=300+20x+3x^2$
\item $n(x)=60+\frac{4000}x,\ \ K(x)=70+2x+0{,}4x^2$
\item $n(x)=100-60x,\ \ K(x)=3+10x-2x^2+0{,}2x^3$
\item $n(x)=500-12x,\ \ K(x)=300+20x-x^2+0{,}1x^3$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $U(x)=xn(x)\Rightarrow$ Maximum des Gewinns $G(x)=U(x)-K(x)$
$\Leftrightarrow G'(x)=0=U'(x)-K'(x)$ und $G''(x)=U''(x)-K''(x)<0$;\\
Maximum des Gewinns, wenn $G(x)$ eine waagrechte Tangente hat.
\item
\begin{enumerate}
\item $G'(x)=480-6x, G''(x)=-6<0\Rightarrow$ Maximum f"ur $x=80$,
G(80)=19020, Preis $n(x)=501{,}5$
\item $G'(x)=58-0{,}8x, G''(x)=-0{,}8<0\Rightarrow$ Maximum f"ur $x=72{,}5$,
G(72{,}5)=6032{,}5, Preis $n(x)=115$
\item $G'(x)=90-116x-0{,}6x^2, G''(x)=-116-1{,}2x\Rightarrow$
Maximum f"ur $x=0{,}77$ (die zweite L"osung der Gleichung ist
nicht sinnvoll, da $<0$!), G(0{,}77)=32, Preis $n(x)=54$
\item $G'(x)=480-22x-0{,}3x^2, G''(x)=-22-0{,}6x\Rightarrow$
Maximum f"ur $x=17{,}596\approx 17{,}6$ (die zweite L"osung der Gleichung ist
nicht sinnvoll, da $<0$!), G(17{,}6)=4195, Preis $n(x)=289$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
