\ANG{
Die Produktionskosten pro St"uck $\D K_D(x)=\frac{K(x)}{x}$ eines Unternehmens
h"angen von der Menge der produzierten Ware $x$ ab.
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie f"ur folgenden Kostenfunktionen die Menge $x$, f"ur die die
Kosten pro St"uck minimal sind. Geben Sie die minimalen Produktionskosten pro
St"uck an.
\begin{enumerate}
\item $K(x)=300+3x^2+20x$
\item $K(x)=70+2x+0{,}8x^2$
\end{enumerate}
\item Zur Bestimmung des Minimums der Produktionskonsten pro St"uck verwendet
man h"aufig die Grenzkosten $K'(x)$. Zeigen Sie, dass $K'(x)$ die Funktion
$K_D(x)$ in einem Punkt mit waagrechter Tangente schneidet.\\
Welche weitere Bedingung muss erf"ullt sein, damit die Produktionskosten pro
St"uck ein Minimum haben?
\item Berechnen Sie f"ur folgende Kostenfunktionen die Menge $x$, f"ur die die
Kosten pro St"uck minimal sind. Geben Sie die minimalen Produktionskosten pro
St"uck an.
\begin{enumerate}
\item $K(x)=20+3x+x^2+x^3$
\item $K(x)=144+2x+x^2+\frac52x^3$
\item $K(x)=350+5x+4x^2+x^3$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $K_D(x)$ nach $x$ ableiten und gleich Null setzen liefert zwei L"osungen,
von denen nur eine sinnvoll ist. F"ur diesen Wert ist $K_D''>0$.
\begin{enumerate}
\item $x=10, K_D(10)=80$
\item $x=9{,}4, K_D(9{,}4)=17$
\end{enumerate}
\item $K_D(x)'=\frac{K(x)'}{x}-\frac{K(x)}{x^2}=\frac{K(x)'-K_D(x)}{x}=0
\Leftrightarrow$ $K(x)'=K_D(x)$.\\
Minimum, wenn $K_D(x)''=...=\frac{K(x)''}{x}>0$
\item $K(x)'=K_D(x)$ verwenden! Die Gleichung kann durch raten gel"ost werden.
\begin{enumerate}
\item $x=2, K_D(2)=19$
\item $x=3, K_D(3)=75{,}5$
\item $x=5, K_D(5)=120$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
